Question

（2004•十堰）若方程x²+（2k-1）x+k²-1=0的两实数根的平方和等于9，则k=    ．

Answer 1

【答案】分析：根据一元二次方程根与系数的关系，求得方程两根的和与两根的积，根据x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，即可得到关于k的方程，从而求得k的值．
解答：解：设方程两个根为x₁和x₂，由于实数根的平方和等于9，
所以x₁²+x₂²=9，即x₁²+x₂²=x₁²+2x₁x₂+x₂²-2x₁x₂=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=9，
又因为x₁+x₂==1-2k，x₁x₂==k²-1，
代入上式得（1-2k）²-2（k²-1）=9，即k²-2k-3=0，解得k=-1或k=3．
当k=3时，x²+5x+8=0中，△=25-32=-7＜0，方程无解，
故k=-1．
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．