Question

如图，梯形ABCD两对角线交于点K，分别以AB、CD为直径各作一圆，K位于两圆之外．证明：由点K向这两个圆所作的切线长相等．

Answer 1

考点：四点共圆

专题：

分析：首先得出点B，E，F，C四点共圆，进而得出点A，D，F，E四点共圆，由切割线定理求出即可．

解答：证明：设AC与圆交于点E，BD与圆交于点F，KM切以AB为直径的圆于M，KN切以CD为直径的圆于N，
连结EF，BE，CF，
则∠BEC=∠CFB=90°，
故点B，E，F，C四点共圆，
则∠CBF=∠CEF，
∵BC∥AD，
∴∠CBF=∠BDA，
∴∠CEF=∠BDA，
∴点A，D，F，E四点共圆，
∴KE•KA=KF•KD，
由切割线定理可得：
 KM²=KE•KA，KN²=KF•KD，
∴KM²=KN²
∴KM=KN．

点评：此题主要考查了四点共圆的性质以及切割线定理，得出点A，D，F，E四点共圆是解题关键．