Question

如图，在△ABC中，O是内心，点E，F都在大边BC上，已知BF=BA，CE=CA．
（1）求证：O是△AEF的外心；
（2）若∠B=40°，∠C=30°，求∠EOF的大小．

Answer 1

分析：（1）连接OA、OB、OC、OE、OF，证△ABO≌△FBO，推出OA=OF，OA=OF即可；
（2）根据三角形的内角和定理求出∠AFE=90°-

1

2

∠B，∠AEF=90°-

1

2

∠C，再根据三角形的内角和定理求出即可．

解答：解：（1）证明：连接OA、OB、OC、OE、OF，
∵O是△ABC的内心，
∴∠OBA=∠FBO，
在△ABO和△FBO中

BA=BF ∠ABO=∠FBO BO=BO

∴△ABO≌△FBO（SAS），
∴OA=OF，
同理OA=OE，
∴OA=OE=OF，
∴O是△ABC的外心．

（2）∵O是△AEF的外心，
∴∠EOF=2∠EAF，
在等腰三角形BO⊥AF，
∴∠AFE=90°-

1

2

∠B，
同理∠AEF=90°-

1

2

∠C，
∴∠EOF=2∠EAF=2（180°-∠AEF-∠AFE），
=[180°-（90°-

1

2

∠C）-（90°-

1

2

∠B）=2（

1

2

∠B+

1

2

∠C）=70°，
答：∠EOF的度数是70°．

点评：本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．