Question

9．如图，已知二次函数y=$\frac{4}{9}$x²-4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为$\sqrt{5}$，P为⊙C上一动点．
（1）点B，C的坐标分别为B（3，0），C（0，-4）；
（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值=$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）在抛物线解析式中令y=0可求得B点坐标，令x=0可求得C点坐标；
（2）①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图1，连接BC，根据勾股定理得到BC=5，BP₂=2$\sqrt{5}$，过P₂作P₂E⊥x轴于E，P₂F⊥y轴于F，根据相似三角形的性质得到$\frac{{P}_{2}F}{{P}_{2}E}$=$\frac{C{P}_{2}}{B{P}_{2}}$=2，设OC=P₂E=2x，CP₂=OE=x，得到BE=3-x，CF=2x-4，于是得到FP₂=$\frac{11}{5}$，EP₂=$\frac{22}{5}$，求得P₂（$\frac{11}{5}$，-$\frac{22}{5}$），过P₁作P₁G⊥x轴于G，P₁H⊥y轴于H，同理求得P₁（-1，-2），②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（3）如图3中，连接AP，∵OB=OA，BE=EP，推出OE=$\frac{1}{2}$AP，可知当AP最大时，OE的值最大，

解答 解：（1）在y=$\frac{4}{9}$x²-4中，令y=0，则x=±3，令x=0，则y=-4，
∴B（3，0），C（0，-4）；
故答案为：3，0；0，-4；

（2）存在点P，使得△PBC为直角三角形，
①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图（2）a，
连接BC，
∵OB=3．OC=4，
∴BC=5，
∵CP₂⊥BP₂，CP₂=$\sqrt{5}$，
∴BP₂=2$\sqrt{5}$，
过P₂作P₂E⊥x轴于E，P₂F⊥y轴于F，
则△CP₂F∽△BP₂E，四边形OCP₂B是矩形，
∴$\frac{{P}_{2}F}{{P}_{2}E}$=$\frac{C{P}_{2}}{B{P}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
设OC=P₂E=2x，CP₂=OE=x，
∴BE=3-x，CF=2x-4，
∴$\frac{BE}{CF}$=$\frac{3-x}{2x-4}$=2，
∴x=$\frac{11}{5}$，2x=$\frac{22}{5}$，
∴FP₂=$\frac{11}{5}$，EP₂=$\frac{22}{5}$，
∴P₂（$\frac{11}{5}$，-$\frac{22}{5}$），
过P₁作P₁G⊥x轴于G，P₁H⊥y轴于H，
同理求得P₁（-1，-2），
②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，
过P₄作P₄H⊥y轴于H，
则△BOC∽△CHP₄，
∴$\frac{CH}{OB}=\frac{{P}_{4}H}{OC}$=$\frac{{P}_{4}C}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴CH=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，P₄H=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴P₄（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$-4）；
同理P₃（-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$\frac{3\sqrt{5}}{5}$-4）；
综上所述：点P的坐标为：（-1，-2）或（$\frac{11}{5}$，-$\frac{22}{5}$）或（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$-4）或（-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$\frac{3\sqrt{5}}{5}$-4）；

（3）如图（3），连接AP，∵OB=OA，BE=EP，
∴OE=$\frac{1}{2}$AP，
∴当AP最大时，OE的值最大，
∵当P在AC的延长线上时，AP的值最大，最大值=5+$\sqrt{5}$，
∴OE的最大值为$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$
故答案为：$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了根据函数的解析式求得点的坐标，圆与直线是位置关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，考查中位线和圆外一定点到圆上距离的最值 等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．