Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=10，AD=6，BC=18，M是CD的中点，P是BC边上的一动点（P与B，C不重合），连接PM并延长交AD的延长线于Q．
（1）当P在B，C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？请说明理由．
（2）当四边形ABPQ是直角梯形时，点P与C距离是多少？

Answer 1

分析：（1）根据AAS证△CMP≌△DMQ，推出PC=DQ=6，求出BP、AQ，推出BP=AQ即可；
（2）作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根据AAS证△ABE≌△DCF，推出BE=FC，证平行四边形AEFD，求出AE、BE的长，根据勾股定理求出PC即可．

解答：（1）解：当CP=6时，四边形ABPQ是平行四边形．
理由：∵AD∥BC，
∴∠C=∠CDQ，∠QPC=∠Q，
∵CM=DM
∴△CMP≌△DMQ，
∴PC=DQ=6，
而BP=BC-PC=18-6=12，
AQ=AD+DQ=6+6=12，
∴BP=AQ，
∵AD∥BC，
∴四边形ABPQ是平行四边形．

（2）解：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
由于AB=CD，∠B=∠C，∠AEB=∠DFC=90°，
∴△ABE≌△DCF，
∴BE=FC，
由于AE∥DF，AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AD=EF，
∴BE=

BC-AD

2

=

18-6

2

=6，
∴AE=

AB2-BE2

=

102-62

=8，
由（1）知：QM=MP，
∴MP=4，
∴PC=

CM2-MP2

=

52-42

=3，
答：当四边形ABPQ是直角梯形时，点P与C距离是3．

点评：本题主要考查对勾股定理，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算和推理是解此题的关键．