Question

已知：如图⊙O是Rt△CDE的外接圆，BC⊥CE，BD和CE的延长线交于点A，且OB∥ED．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的半径r．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证明AD是圆的切线，只需连接OD，证明OD⊥AB；
（2）根据切线长定理和勾股定理计算得到AC的长，再进一步根据切割线定理进行计算．
解答：（1）证明：连接OD．
∵OB∥ED，
∴∠CFO=∠CDE=90°．
又∵CD是⊙O的弦，
∴OB垂直平分CD．
∴∠BCF=∠BDF．
又∵∠2=∠1，
∴∠1+∠BDF=∠2+∠BCF=∠BCO=90°．
∴∠BDO=90°．
∴AD是⊙O的切线．

（2）解：设AE=k．
∵BC，BD是⊙O的切线，
∴BD=BC=6．
∵AD=4，
∴AC=8．
又∵AD是⊙O的切线，
∴AD²=AE•AC．
∴16=8k，k=2．
∴2r=8-2=6，
∴r=3．
∴该圆的半径是3．
点评：此题综合运用了切线长定理、切割线定理、圆周角定理的推论、平行线的性质和等腰三角形的性质．