Question

6．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；
（3）若CD=1，EH=3，求BF及AF长．

Answer 1

分析 （1）连接OE，由于BE是角平分线，则有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代换有∠OEB=∠CBE，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切线；
（2）连结DE，先根据AAS证明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD=HF．
（3）先证得△EHF∽△BEF，根据相似三角形的性质求得BF=10，进而根据直角三角形斜边中线的性质求得OE=5，进一步求得OH，然后解直角三角形即可求得OA，得出AF．

解答 证明：（1）如图，连接OE．
∵BE⊥EF，
∴∠BEF=90°，
∴BF是圆O的直径．
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO=∠C=90°，
∴AC是⊙O的切线；

（2）如图，连结DE．
∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，
∴EC=EH．
∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，
∴∠CDE=∠HFE．
在△CDE与△HFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDE=∠HFE}\\{∠C=∠EHF=90°}\\{EC=EH}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD=HF．

（3）由（2）得CD=HF，又CD=1，
∴HF=1，
在Rt△HFE中，EF=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF=90°，
∴∠EHF=∠BEF=90°，
∵∠EFH=∠BFE，
∴△EHF∽△BEF，
∴$\frac{EF}{BF}$=$\frac{HF}{EF}$，即$\frac{\sqrt{10}}{BF}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，
∴BF=10，
∴OE=$\frac{1}{2}$BF=5，OH=5-1=4，
∴Rt△OHE中，cos∠EOA=$\frac{4}{5}$，
∴Rt△EOA中，cos∠EOA=$\frac{OE}{OA}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{5}{OA}$=$\frac{4}{5}$，
∴OA=$\frac{25}{4}$，
∴AF=$\frac{25}{4}$-5=$\frac{5}{4}$．

点评 本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，三角形相似的判定和性质以及解直角三角形等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．