Question

4．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（3，3）．将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．
（1）求证：△AOG≌△ADG；
（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；
（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式；
（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由AO=AD，AG=AG，根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，判断出△AOG≌△ADG即可．
（2）首先根据三角形全等的判定方法，判断出△ADP≌△ABP，再结合△AOG≌△ADG，可得∠DAP=∠BAP，∠1=∠DAG；然后根据∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，求出∠PAG的度数；最后判断出线段OG、PG、BP之间的数量关系即可．
（3）首先根据△AOG≌△ADG，判断出∠AGO=∠AGD；然后根据∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，判断出当∠1=∠2时，∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，求出∠1=∠2=30°；最后确定出P、G两点坐标，即可判断出直线PE的解析式．
（4）根据题意，分两种情况：①当点M在x轴的负半轴上时；②当点M在EP的延长线上时；根据以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形，求出M点坐标是多少即可．

解答 （1）证明：在Rt△AOG和Rt△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=AD}\\{AG=AG}\end{array}\right.$（HL）
∴△AOG≌△ADG．

（2）解：在Rt△ADP和Rt△ABP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{AP=AP}\end{array}\right.$
∴△ADP≌△ABP，
则∠DAP=∠BAP；
∵△AOG≌△ADG，
∴∠1=∠DAG；
又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，
∴2∠DAG+2∠DAP=90°，
∴∠DAG+∠DAP=45°，
∵∠PAG=∠DAG+∠DAP，
∴∠PAG=45°；
∵△AOG≌△ADG，
∴DG=OG，
∵△ADP≌△ABP，
∴DP=BP，
∴PG=DG+DP=OG+BP．

（3）解：∵△AOG≌△ADG，
∴∠AGO=∠AGD，
又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，
∴∠AGO=∠PGC，
又∵∠AGO=∠AGD，
∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，
又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，
∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=180°÷3=60°，
∴∠1=∠2=90°-60°=30°；
在Rt△AOG中，
∵AO=3，
∴OG=AOtan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴G点坐标为（$\sqrt{3}$，0），CG=3-$\sqrt{3}$，
在Rt△PCG中，PC=$\frac{CG}{tan30°}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=3（$\sqrt{3}$-1），
∴P点坐标为：（3，3$\sqrt{3}$-3 ），
设直线PE的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}k+b=0}\\{3k+b=3\sqrt{3}-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线PE的解析式为y=$\sqrt{3}$x-3．

（4）①如图1，当点M在x轴的负半轴上时，，
∵AG=MG，点A坐标为（0，3），
∴点M坐标为（0，-3）．

②如图2，当点M在EP的延长线上时，，
由（3），可得∠AGO=∠PGC=60°，
∴EP与AB的交点M，满足AG=MG，
∵A点的横坐标是0，G点横坐标为$\sqrt{3}$，
∴M的横坐标是2$\sqrt{3}$，纵坐标是3，
∴点M坐标为（2$\sqrt{3}$，3）．
综上，可得
点M坐标为（0，-3）或（2$\sqrt{3}$，3）．

点评 （1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及直线的解析式的求法，要熟练掌握．
（3）此题还考查了等腰三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．