Question

如图所示，在△ABC中，DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，且DE和MN交于点F．
（1）若∠B=20°求∠BAE的度数，
（2）若∠EAN=40，求∠F的度数，
（3）若AB=8，AC=9，求△AEN周长的范围．

Answer 1

解：（1）∵DE是边AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵∠B=20°，
∴∠BAE=∠B=20°；

（2）∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，
∴AE=BE，AN=CN，
∴∠BAE=∠B，∠CAN=∠C，
∵∠EAN=40°，∠B+∠BAE+∠EAN+∠CAN+∠C=180°，
∴∠BAE+∠CAN=70°，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAN+∠EAN=110°，
∵∠ADF=∠AMF=90°，
∴∠F=360°-∠ADF-∠AMF-∠BAC=360°-90°-90°-110°=70°；

（3）∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，
∴AE=BE，AN=CN，
∴BC=BE+EN+CN=AE+EN+AN，
∵AB=8，AC=9，
∴1＜BC＜17，
∴△AEN周长的范围为：1＜AE+EN+AN＜17．
分析：（1）由DE是边AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得AE=BE，又由等边对等角，即可求得∠BAE的度数；
（2）由DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，AN=CN，又由等边对等角，即可得∠BAE=∠B，∠CAN=∠C，然后由三角形内角和定理，即可求得∠BAE+∠CAN=70°，然后由四边形的内角和等于360°，求得∠F的度数；
（3）由AE=BE，AN=CN，即可得△AEN周长等于BC的长，又由三角形三边关系即可求得△AEN周长的范围．
点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、四边形的性质以及三角形三边关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．