Question

20．在平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{3}{4}$x+1交y轴于点B，交x轴于点A，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c经过点B，与直线y=-$\frac{3}{4}$x+1交于点C（4，-2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上，过点M作ME∥y轴交直线BC于点E，以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，当点E在x轴上时，求△DEM的周长．
（3）将△AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°，得到△A₁O₁B₁，点A，O，B的对应点分别是点A₁，O₁，B₁，若△A₁O₁B₁的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A₁的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）如图1，A与E重合，根据直线y=-$\frac{3}{4}$x+1求得与x轴交点坐标可得OA的长，由勾股定理得AB的长，利用等角的三角函数得：sin∠ABO=$\frac{OA}{AB}=\frac{4}{5}$，cos∠ABO=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{3}{5}$，则可得DE和DM的长，根据M的横坐标代入抛物线的解析式可得纵坐标，即ME的长，相加得△DEM的周长；
（3）由旋转可知：O₁A₁⊥x轴，O₁B₁⊥y轴，设点A₁的横坐标为x，则点B₁的横坐标为x+1，所以点O₁，A₁不可能同时落在抛物线上，分以下两种情况：
①如图2，当点O₁，B₁同时落在抛物线上时，根据点O₁，B₁的纵坐标相等列方程可得结论；
②如图3，当点A₁，B₁同时落在抛物线上时，根据点B₁的纵坐标比点A₁的纵坐标大$\frac{4}{3}$，列方程可得结论．

解答 解：（1）∵直线y=-$\frac{3}{4}$x+1交y轴于点B，
∴B（0，1），
∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c经过点B和点C（4，-2）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{-8+4b+c=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{5}{4}}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{4}$x+1；
（2）如图1，∵直线y=-$\frac{3}{4}$x+1交x轴于点A，
当y=0时，-$\frac{3}{4}$x+1=0，
x=$\frac{4}{3}$，
∴A（$\frac{4}{3}$，0），
∴OA=$\frac{4}{3}$，
在Rt△AOB中，
∵OB=1，
∴AB=$\frac{5}{3}$，
∴sin∠ABO=$\frac{OA}{AB}=\frac{4}{5}$，cos∠ABO=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∵ME∥x轴，
∴∠DEM=∠ABO，
∵以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，
∴∠EDM=90°，
∴DE=ME•cos∠DEM=$\frac{3}{5}$ME，
DM=ME•sin∠DEM=$\frac{4}{5}$ME，
当点E在x轴上时，E和A重合，则m=OA=$\frac{4}{3}$，
当x=$\frac{4}{3}$时，y=-$\frac{1}{2}$×$（\frac{4}{3}）^{2}$+$\frac{5}{4}$×$\frac{4}{3}$+1=$\frac{16}{9}$；
∴ME=$\frac{16}{9}$，
∴DE=$\frac{3}{5}×\frac{16}{9}$=$\frac{16}{15}$，DM=$\frac{4}{5}×\frac{16}{9}$=$\frac{64}{45}$，
∴△DEM的周长=DE+DM+ME=$\frac{16}{15}$+$\frac{64}{45}$+$\frac{16}{9}$=$\frac{64}{15}$；
（3）由旋转可知：O₁A₁⊥x轴，O₁B₁⊥y轴，设点A₁的横坐标为x，则点B₁的横坐标为x+1，
∵O₁A₁⊥x轴，
∴点O₁，A₁不可能同时落在抛物线上，分以下两种情况：
①如图2，当点O₁，B₁同时落在抛物线上时，
点O₁，B₁的纵坐标相等，
∴-$\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{4}x+1$=-$\frac{1}{2}$（x+1）²+$\frac{5}{4}$（x+1）+1，
解得：x=$\frac{3}{4}$，
此时点A₁的坐标为（$\frac{3}{4}$，$\frac{31}{96}$），
②如图3，当点A₁，B₁同时落在抛物线上时，
点B₁的纵坐标比点A₁的纵坐标大$\frac{4}{3}$，
-$\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{4}x+1+\frac{4}{3}$=-$\frac{1}{2}$（x+1）²+$\frac{5}{4}$（x+1）+1，
解得：x=-$\frac{7}{12}$，
此时A₁（-$\frac{7}{12}$，$\frac{29}{288}$），
综上所述，点A₁（$\frac{3}{4}$，$\frac{31}{96}$）或（-$\frac{7}{12}$，$\frac{29}{288}$）．

点评 本题是二次函数与圆的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、圆周角定理、三角函数、与坐标轴的交点，第三问有难度，准确地画出图形是关键，与方程相结合，找等量关系列方程解决问题，并采用了分类讨论思想，不要丢解．