Question

15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（m，0）（0＜m＜$\sqrt{2}$），B（2$\sqrt{2}$，0），以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点E是线段OD与正方形ABCD的外接圆的交点，连接BE与AD相交于点F．
（1）求证：BF=DO；
（2）若$\widehat{AE}$=$\widehat{DE}$，试求经过B，F，O三点的抛物线C的解析式；
（3）在（2）的条件下，将抛物线C在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象，若直线BE向上平移t个单位与新图象只有两个公共点，试求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）本题可通过全等三角形来证简单的线段相等，三角形ABF和ADO中，根据圆周角定理可得出∠ABF=∠ADO，已知了一组直角和AB=AD，因此两三角形全等，即可得出BF=OD的结论；
（2）如果G是三角形BDO的外心，根据三角形外心定义可知BE必垂直平分OD，因此三角形BOD是等腰三角形．在等腰直角三角形ABD中，BD=BO=2$\sqrt{2}$，AB=OB-OA=2$\sqrt{2}$+m，因此可根据AB、BD的比例关系求出m的值，即可得出OA的长，而在（1）得出的全等三角形中，可得出OA=FG，据此可求出F点坐标．已知B、F、O三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）当直线BE与y轴相交于G，向上平移直线BE使平移后的直线经过原点O，由图象知，在平移前直线BE与新图象有1个公共点，平移到经过点O时与新图象有3个公共点，并且0＜t＜OG，利用已知条件求出OG的长即可求出t的取值范围；当直线BE向上平移至于抛物线相切后再向上平移时，直线BE与图象的交点又变为两个，设相切时直线BE的解析式为y=（$\sqrt{2}$-1）x+b，求出方程组的解，进而求出t的取值范围．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAF=∠DAO=90°
在△ABF和△ADO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠ADO}\\{AB=AD}\\{∠BAF=∠DAO}\end{array}\right.$
∴△ABF≌△ADO（ASA），
∴BF=DO；
（2）∵A（m，0），B（2$\sqrt{2}$，0），
∴AO=m，BO=2$\sqrt{2}$，AB=2$\sqrt{2}$-m，
∵$\widehat{AE}$=$\widehat{DE}$，
∴∠EBO=∠EBD，
∵∠DAB=90°，
∴BD为直径∴∠BEO=∠BED=90°，
又∵BE=BE，
∴△BEO≌△BED，
∴BD=BO=2$\sqrt{2}$，
在Rt△BCD中BD=$\sqrt{2}$AB，
∴2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$（2$\sqrt{2}$-m），
∴m=2$\sqrt{2}$-2，
∵△ABF≌△ADO，
∴AF=AO=m=2$\sqrt{2}$-2，
∴F点的坐标为（2$\sqrt{2}$-2，2-2$\sqrt{2}$），
∵抛物线C经过O（0，0），B（2$\sqrt{2}$，0），
设C的解析式为y=ax（x-2$\sqrt{2}$），
将F（2$\sqrt{2}$-2，2-2$\sqrt{2}$）代入得：a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线l的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\sqrt{2}$x；
（3）①如图，设直线BE与y轴相交于G，向上平移直线BE使平移后的直线经过原点O，由图象知，在平移前直线BE与新图象有1个公共点，平移到经过点O时与新图象有3个公共点．
∴0＜t＜OG，
设直线BE的解析式为y=kx+m，将B（2$\sqrt{2}$，0），F（2$\sqrt{2}$-2，2-2$\sqrt{2}$）代入易求出：y=（$\sqrt{2}$-1）x-4+2$\sqrt{2}$，
当x=0时，y=-4+2$\sqrt{2}$，
∴OG=4-2$\sqrt{2}$，
此时t的取值范围是：0＜t＜4-2$\sqrt{2}$．
②如图，当直线BE向上平移至于抛物线相切后再向上平移时，直线BE与图象的交点又变为两个，设相切时直线BE的解析式为y=（$\sqrt{2}$-1）x+b，
则方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\sqrt{2}x}\\{y=（\sqrt{2}-1）x+b}\end{array}\right.$有一个解，

于是方程-$\frac{1}{2}$x²-$\sqrt{2}$x=（$\sqrt{2}$-1）x+b有两个相等的实数根，
即△=0，解得b=$\frac{1}{2}$，
此时直线BE的解析式为y=（$\sqrt{2}$-1）x+$\frac{1}{2}$，
直线BE与y轴的交点为（0，$\frac{1}{2}$），
∴OG=$\frac{1}{2}$+（4-2$\sqrt{2}$）=$\frac{9}{2}$-2$\sqrt{2}$，
∴此时t的取值范围是：t＞$\frac{9}{2}$-2$\sqrt{2}$．
综上所述：t的取值范围为：0＜t＜4-2$\sqrt{2}$或t＞$\frac{9}{2}$-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，二次函数和圆的交点问题，以及正方形的性质和全等三角形的判定和全等三角形的性质，本题有一定的难度，综合性也比较强，有一定的新意，第3小问有些难度，有一定的能力要求，解这种题时需冷静地分析题意，找到切入点不会很难．