Question

20．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，且OE⊥AC于点E，过点C作⊙O的切线，交OE的延长线于点D，交AB的延长线于点F，连接AD
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若tan∠F=$\frac{1}{2}$，⊙O半径为1，求线段AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC．根据垂径定理得到AE=CE，根据全等三角形和切线的性质得到∠OCD=∠OAD=90°，于是得到结论；
（2）设AD=x，根据三角函数的定义得到FC=2，在Rt△ADF中，同理可得，FO=2x-1，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）连接OC．
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴DC=DA，
在△OCD与△OAD中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=DA}\\{OC=OA}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△OAD，
∵FD切⊙O于D，
∴∠OCD=∠OAD=90°，
∴AD是⊙O的切线；

（2）设AD=x，
∵tan∠F=$\frac{1}{2}$，OC=1，
∴在Rt△OCF中，$\frac{OC}{FC}$=$\frac{1}{2}$，
∴FC=2，
在Rt△ADF中，同理可得，FO=2x-1，
∴在Rt△OCF中，
FO²=FC²+CO²，
∴（2x-1）²=5，解得x₁=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，x₂=$\frac{-\sqrt{5}+1}{2}$（舍去），
即 AD=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．