Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上的一点，点F在AD的延长线上，且∠CEF=90°，EF交CD于H，分别过点F，点C作EC和EF的平行线，交于点G.

(1)证明：AE=CE；

(2)证明：四边形ECGF是正方形；

(3)若正方形ABCD的边长为，且BE=BC，求此时ΔEDF的面积.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) .

【解析】

（1）利用AD=CD，∠ADE=∠CDE=45°，DE=DE，可得ΔADE≌ΔCDE(SAS)，所以AE=CE；

（2）EF∥CG，EC∥FG，得四边形ECCF是平行四边形，并且∠CEF=90°，所以四边形ECGF是矩形，由三角形内角和可得∠DFH=∠ECH，并根据ΔADE≌ΔCDE，可以得到∠DFH=∠EAD，所以AE=EF，则由（1）可知CE=EF，所以四边形ECGF是正方形.

（3）作FM⊥BD，CN⊥BD，利用∠FEM+∠CEN=90°，∠FEM+∠EFM=90°，得到∠EFM=∠CEN，并根据∠M=∠CNE=90°，EF=EC，所以ΔFME≌ΔENC，FM=EN，EM=CN，

并RtΔBCD中，根据BE=BC=AB=，可得出EN=FM=BE-BN=-1，DE=BD-BE=2-

∴ΔEDF的面积，化简即可.

证明：(1)在正方形ABCD中，

AD=CD，∠ADE=∠CDE=45°，

∵DE=DE

∴ΔADE≌ΔCDE(SAS)

∴AE=CE

(2)由题意，得EF∥CG，EC∥FG.

四边形ECCF是平行四边形

∵∠CEF=90°

∴四边形ECGF是矩形

∵∠HDF+∠DFH+∠DHF=∠CEH+∠ECH+∠EHC=180°

∠CEH=∠HDF=90°，∠DHF=∠EHC

∴∠DFH=∠ECH

由(1)得，ΔADE≌ΔCDE

∴∠EAD=∠ECD

∴∠DFH=∠EAD

∴AE=EF.

由(1)得，AE=CE

∴CE=EF

∵四边形ECGF是矩形

∴四边形ECGF是正方形.

(3)如图，作FM⊥BD，CN⊥BD，垂足分别为M、N

∵∠CEF=90°

∴∠FEM+∠CEN=90°，

∵∠FEM+∠EFM=90°，

∴∠EFM=∠CEN

∠M=∠CNE=90°，EF=EC

∴ΔFME≌ΔENC

∴FM=EN，EM=CN，

在RtΔBCD中，BE=BC=AB=，

∴BD=2，BN=DN=CN=1，

∴EN=FM=BE-BN=-1，

∴DE=BD-BE=2-

∴ΔEDF的面积