Question

如图，对称轴为x=3的抛物线y=ax²+2x与轴相交于点B、O。
（1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；
（2）连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l.点P是l上一动点，设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）∵点B与O（0，0）关于x=3对称， ∴点B坐标为（6，0）， 将点B坐标代入， 得：36a+12=0， ∴， ∴抛物线解析式为， 当x=3时，， ∴顶点A坐标为（3，3）， （说明：可用对称轴为，求a值，用顶点式求顶点A坐标）
（2）设直线AB解析式为y=kx+b， ∵A（3，3），B（6，0）， ∴ 解得 ∴， ∵直线l∥AB且过点O， ∴直线l解析式为y=-x， ∵点p是l上一动点且横坐标为t， ∴点p坐标为（t，-t）， 当p在第四象限时（t＞0）， =12×6×3+×6×|t| =9+3t， ∵0＜S≤18， ∴0＜9+3t≤18， ∴-3＜t≤3， 又t＞0， ∴0＜t≤3.5， 当p在第二象限时（t＜0）， 作PM⊥x轴于M，设对称轴与x轴交点为N， 则   =-3t+9， ∵0＜S≤18， ∴0＜-3t+9≤18， ∴-3≤t＜3， 又t＜0， ∴-3≤t＜0.6， ∴t的取值范围是-3≤t＜0或0＜t≤3；
（3）存在，点Q坐标为（3，3）或（6，0）或（-3，-9）。