Question

10．已知⊙O的半径为8cm，弦AB的长为8cm，则弦AB所对的圆周角的度数是30°或150°．

Answer 1

分析 由⊙O的半径为8cm，弦AB的长为8cm，可知弦AB的长恰好等于⊙O的半径，则△OAB是等边三角形，则∠AOB=60°；而弦AB所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧；因此本题要分类讨论．

解答 解：情形一，如图1所示，连接OA、OB，在⊙上任取一点，连接CA，CB，
∵AB=OA=OB=8cm，∴∠AOB=60°，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°
即弦AB所对的圆周角等于30°；
情形二，如图2所示，连接OA，OB，在劣弧上任取一点D，
连接AD、OD、BD，则∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BOD，∠ABD=$\frac{1}{2}$∠AOD，
∴∠BAD+∠ABD=$\frac{1}{2}$（∠BOD+∠AOD）=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∵AB的长等于⊙O的半径，
∴△AOB为等边三角形，∠AOB=60°，
∴∠BAD+∠ABD=30°，∠ADB=180°-（∠BAD+∠ABD）=150°，
即弦AB所对的圆周角为150°，
故答案为：30°或150°．

点评 本题主要考查了等边三角形的判定和性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质，要注意的是弦AB所对的圆周角有两种情况，需分类讨论，以免漏解是解答此题的关键．