Question

8．将边长为$\sqrt{5}$的正方形ABCD与边长$\sqrt{2}$为的正方形CEFG如图摆放，连BG、DE．将正方形CEFG绕点C逆时针旋转．
（1）当点G恰好落在直线DE上时，连BE，则BE长为$\sqrt{13}$．
（2）若直线BG、DE交于点H，点H到边BC的距离的最大值为$\frac{\sqrt{30}+2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 （1）利用△BOD∽△COG求出线段BO、OC、OD、OG，在RT△BGE中利用勾股定理即可求BE．
（2）图2中，当CG⊥BG时，F与H重合，此时点H到直线BC的距离最大，作HM⊥BC垂足为M，利用△BCG∽△BFM即可求出最大值FM．

解答 解：（1）如图1，∵四边形ABCD、四边形CGEF都是正方形，
∴BC=CD=$\sqrt{5}$，CG=CE=$\sqrt{2}$，∠BCD=∠GCE=90°，∠DEC=∠CGE=45°，∠BDC=45°，
∴BD=$\sqrt{10}$，GE=2，
∴∠BCG=∠DCE，
在△BCG和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCG=∠DCE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE，
∴∠BGC=∠DEC=45°，
∴∠BGE=∠BGC+∠CGE=90°，
∵∠DOB=∠GOC，∠BDO=∠OGC，
∴△BDO∽△CGO，
∴$\frac{BD}{CG}=\frac{BO}{OC}=\frac{DO}{OG}$=$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{5}$，
设OC=k，则BO=$\sqrt{5}$k，∵BO²=OC²+BC²，
∴5k²=5+k²，
∴k=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴OC=OD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，BO=$\frac{5}{2}$，OG=$\frac{1}{2}$，
∴BG=BO+OG=3，
在RT△BGE中，BG=3，EG=2，
∴BE=$\sqrt{B{G}^{2}+G{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$．
故答案为$\sqrt{13}$
（2）如图2，当CG⊥BG时，F与H重合，此时点H到直线BC的距离最大，作HM⊥BC垂足为M．
在RT△BCG中，∵BC=$\sqrt{5}$，GC=$\sqrt{2}$，
∴BG=$\sqrt{B{C}^{2}-G{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$，BH=$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，
∵∠CBG=∠MBF，∠CGB=∠FMB，
∴△BCG∽△BFM，
∴$\frac{GC}{HM}=\frac{BC}{BF}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{HM}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$，
∴HM=$\frac{\sqrt{30}+2\sqrt{5}}{5}$，
∴点H到直线BC的距离的最大值为$\frac{\sqrt{30}+2\sqrt{5}}{5}$．
故答案为$\frac{\sqrt{30}+2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、以及旋转等知识，正确画出图形，灵活运用三角形全等或相似是解题的关键．