Question

【题目】如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点

求证：；

若，求的长；

如图2，连接，求证：．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）由矩形的形及已知证得△EAF≌△DAB，则有∠E=∠ADB，进而证得∠EGB=90即可证得结论；

（2）设AE=x，利用矩形性质知AF∥BC，则有，进而得到x的方程，解之即可；

（3）在EF上截取EH=DG，进而证明△EHA≌△DGA，得到∠EAH=∠DAG，AH=AG，则证得△HAG为等腰直角三角形，即可得证结论．

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠EAD=90，AO=BC，AD∥BC，

在△EAF和△DAB，

，

∴△EAF≌△DAB(SAS)，

∴∠E=∠BDA，

∵∠BDA+∠ABD=90，

∴∠E+∠ABD=90，

∴∠EGB=90，

∴BG⊥EC；

（2）设AE=x，则EB=1+x，BC=AD=AE=x，

∵AF∥BC，∠E=∠E，

∴△EAF∽△EBC，

∴，又AF=AB=1，

∴即，

解得：，（舍去）

即AE=；

（3）在EG上截取EH=DG，连接AH，

在△EAH和△DAG，

，

∴△EAH≌△DAG(SAS)，

∴∠EAH=∠DAG，AH=AG，

∵∠EAH+∠DAH=90，

∴∠DAG+∠DAH=90，

∴∠EAG=90，

∴△GAH是等腰直角三角形，

∴即，

∴GH=AG，

∵GH=EG-EH=EG-DG，

∴．