Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC=12cm，BC=9cm，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当经过1秒时，△BPD与△CQP是否全等，请判断并说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ？

（2）若点Q以②的运动速度从点C出发，点P以原来运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC的三边运动，求经过多长时间，点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上会相遇？

Answer 1

【答案】（1）①是，见解析；②；（2）24秒，BC

【解析】

（1）①先求得BP=CQ=3，PC=BD=6，然后根据等边对等角求得∠B=∠C，最后根据SAS即可证明；

②因为VP≠VQ，所以BP≠CQ，又∠B=∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=4.5，根据全等得出CQ=BD=6，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度；

（2）因为VQ>VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得.

解答：

(1)①∵t=1(秒)

∴BP=CQ=3(cm)

∵AB=12，D为AB中点

∴BD=6(cm)

又∵PC=BCBP=93=6(cm)

∴PC=BD

∵AB=AC

∴∠B=∠C

在△BPD与△CQP中，

∴△BPD≌△CQP(SAS)；

②∵VP≠VQ

∴BP≠CQ

又∵∠B=∠C

要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4.5(cm)，

∵△BPD≌△CPQ

∴CQ=BD=6(cm)

∴点P的运动时间，

此时.

(2)因为VQ>VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，

设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得4x=3x+2×12，

解得x=24(秒)

此时P运动了24×3=72(cm)

又∵△ABC的周长为33cm，72÷33=2余6，

∴点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇。