Question

3．如图，直线AD与抛物线y=$\frac{3}{8}$x²+bx+c交于A（-8，0）和D（-2，-9）两点，点C与E分别为该抛物线与y轴的交点和抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和顶点E的坐标；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）若点Q是直线AD下方抛物线上的一个动点，△AQD的面积有没有最大值？若有，请写出求解过程．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）根据面积的和差，可得答案；
（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得QF的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．

解答 解：（1）将A（-8，0），D（-2，-9）代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{8}×（-8）^{2}-8b+c=0}\\{\frac{3}{8}×（-2）^{2}-2b+c=-9}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{9}{4}}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=$\frac{3}{8}$x²+$\frac{9}{4}$x-6，
配方，得
y=$\frac{3}{8}$（x+3）²-$\frac{75}{8}$，顶点E的坐标为（-3，-$\frac{75}{8}$）；

（2）如图1，
作DF⊥AB与F点，
当y=0时，$\frac{3}{8}$x²+$\frac{9}{4}$x-6=0，解得x₁=-8（舍），x₂=2，即B点坐标为（2，0）
S_{四边形ABCD}=S_ADF+S_CDF+S_△BCF
=$\frac{1}{2}$AF•FD+$\frac{1}{2}$FD•x_F+$\frac{1}{2}$FB•y_C
=$\frac{1}{2}$×6×9+$\frac{1}{2}$×9×2+$\frac{1}{2}$×4×6
=27+9+12=48；

（3）如图2，
作QH⊥AB于H，交AD于F点，
AD的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x-12，
舍Q（m，$\frac{3}{8}$m²+$\frac{9}{4}$m-6），F（m，-$\frac{3}{2}$m-12），
FQ=-$\frac{3}{2}$m-12-（$\frac{3}{8}$m²+$\frac{9}{4}$m-6）=-$\frac{3}{8}$m²-$\frac{15}{4}$m-6，
S_△AQD=$\frac{1}{2}$QF•（x_D-x_A）=$\frac{1}{2}$（-$\frac{3}{8}$m²-$\frac{15}{4}$m-6）×6
=-$\frac{9}{8}$m³-$\frac{45}{4}$-18
=-$\frac{9}{8}$（m+5）²+$\frac{101}{8}$，
当m=-5时，S_最大=$\frac{101}{8}$．

点评 本题考察了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是将四边形分割成几个三角形；解（3）的关键是利用平行于y轴的直线上两点间的距离较大的纵坐标减较小的纵坐标得QF的长，又利用了二次函数的性质．