Question

16．如图，AB为⊙O的直径，点C是$\widehat{AB}$上一点，点D为$\widehat{AC}$的中点，弦AC、BD交于点E，F为BD延长线上一点，且FA是⊙O的切线，
（1）求证：AF=AE；
（2）若⊙O的半径为4，AF=6，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由∴∠AED+∠ODE=90°，∠F+∠B=90°，根据等角的余角相等即可判定∠F=∠AEF．
（2）求出ED，EB，根据相交弦定理即可解决问题．

解答 （1）证明：连接OD．
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{DC}$，
∴OD⊥AC，
∴∠AED+∠ODE=90°，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B，
∴∠B+∠AED=90°，
∴AF是⊙O切线，
∴OA⊥AF，
∴∠FAB=90°，
∴∠F+∠B=90°，
∴∠F=∠AEF，
∴AF=AE．
（2）解：连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥EF，
∵AF=AE=6，
∴DF=DE，
在RT△ABC中，∵∠BAF=90°，AF=6，AB=8，
∴BF=$\sqrt{A{F}^{2}+A{B}^{2}}$=10，
∵$\frac{1}{2}$AD•BF=$\frac{1}{2}$•AF•AB，
∴AD=$\frac{24}{5}$，DF=DE=$\sqrt{A{F}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{18}{5}$，EF=$\frac{36}{5}$，EB=$\frac{14}{5}$，
∵AE•EC=DE•EB，
∴EC=$\frac{\frac{18}{5}×\frac{14}{5}}{6}$=$\frac{42}{25}$．

点评 本题考查切线的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．