Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE绕点E顺时针旋转得到△A1B1E，点B1在正方形ABCD内，连接AA1、BB1；

（1）求证：△AA1E∽△BB1E；

（2）延长BB1分别交线段AA1，DC于点F、G，求证：AF＝A1F；

（3）在（2）的条件下，若AB＝4，BE＝1，G是DC的中点，求AF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）由EB＝EB1，EA＝EA1，可得∠EBB1＝∠EB1B，∠EAA1＝∠EA1A，由∠BEB1＝∠AEA1，可得∠EBB1＝∠EB1B＝∠EAA1＝∠EA1A，根据运用∽三角形的判定定理即可证明；

（2）连接BF，延长EB1交AA1于M．先证△MFB1∽△MEA1，再证△MEF∽△MA1B1，可得∠MFE＝∠MB1A1＝90°，即EF⊥AA1，由EA＝EA1，可得AF＝FA1；

（3）先求出AE，再由cos∠GBC＝cos∠EAF＝＝＝，在Rt△AEF中，根据AF＝AEcos∠EAF，计算即可；

（1）证明：如图

∵EB＝EB1，EA＝EA1，

∴∠EBB1＝∠EB1B，∠EAA1＝∠EA1A，

∵∠BEB1＝∠AEA1，

∴∠EBB1＝∠EB1B＝∠EAA1＝∠EA1A，

∴△AA1E∽△BB1E．

（2）证明：连接BF，延长EB1交AA1于M．

∵∠BB1B＝∠FB1M＝∠MA1E，∠FMB1＝∠EMA1，

∴△MFB1∽△MEA1，

∴＝，

∴＝，

∵∠EMF＝∠A1MB1，

∴△MEF∽△MA1B1，

∴∠MFE＝∠MB1A1＝90°，

∴EF⊥AA1，

∵EA＝EA1，

∴AF＝FA1．

（3）解：在Rt△ABE中，∵AB＝4，BE＝1，

∴AE＝＝，

∵DG＝GC，

∴cos∠GBC＝cos∠EAF＝＝＝，

在Rt△AEF中，AF＝AEcos∠EAF＝＝．