Question

如图，在平面直角坐标系中，已知三点A、B、C的坐标分别为a（-6，0），B（2，0），C（0，3）．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的表达式．
（2）过C点作CD平行于x轴交抛物线于点D，求D的坐标．
（3）若抛物线的顶点为P，连结PC、PD，试问在抛物线的对称轴上是否存在着点E，使得四边形CEDP为菱形，并说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先由抛物线经过点C（0，3），可设抛物线的解析式为y=ax²+bx+3（a≠0），再将A、B两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先由CD平行于x轴，得出D_纵=C_纵=3，再将y=3代入抛物线的解析式，求出x的值，得到D_横=-4，即可求出D点坐标；
（3）在抛物线的对称轴上取点E（-2，2），连结CE、DE，设PE交CD于F，则PE是CD的垂直平分线，再证明PF=EF=1，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得到四边形CEDP是菱形．

解答：解：（1）∵抛物线经过点C（0，3），
∴可设经过A（-6，0），B（2，0），C（0，3）三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+3（a≠0），
将A、B两点的坐标代入，得

36a-6b+3=0 4a+2b+3=0

，
解得

a=- 1 4 b=-1

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

4

x²-x+3；

（2）∵CD平行于x轴，
∴D_纵=C_纵=3，
当y=3时，-

1

4

x²-x+3=3，
解得x₁=0，x₂=-4，
∴D_横=-4，
∴D点的坐标为（-4，3）；

（3）在抛物线的对称轴上存在着点E（-2，2），能够使得四边形CEDP为菱形．理由如下：
∵y=-

1

4

x²-x+3=-

1

4

（x²+4x+4）+1+3=-

1

4

（x+2）²+4，
∴对称轴为直线x=-2，顶点P的坐标为（-2，4）．
在抛物线的对称轴上取点E（-2，2），连结CE、DE，设PE交CD于F，则PE是CD的垂直平分线，
∴CD⊥PE，CF=FD，F（-2，3），
∵P（-2，4），E（-2，2），
∴PF=EF=1，
∴四边形CEDP是菱形．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数解析式的确定、平行于x轴上的点的坐标特征、抛物线的顶点坐标求法以及菱形的判定方法，难度不大，细心求解即可．