Question

12．如图，△ABC中，∠ACB=90°，点E在BC上，以CE为直径的⊙O交AB于点F，AO∥EF
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）如图2，连结CF交AO于点G，交AE于点P，若BE=2，BF=4，求$\frac{AP}{PE}$的值．

Answer 1

分析 （1）连接OF，如图，利用平行线的性质得到∠1=∠3，∠2=∠4，加上∠3=∠4，则∠1=∠2，再证明△AOC≌△AOF得到∠ACO=∠AFO=90°，然后根据切线的判定定理可得到结论；（2）在Rt△OFB中，设OE=OF=r，利用勾股定理得到r²+4²=（r+2）²，解得r=3，则OB=5，设AC=AF=t，则AB=4+t，利用勾股定理得到t²+8²=（t+4）²，解得t=6，则可计算出AO=3$\sqrt{5}$，利用AC²=AO•AG，计算出AG=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，所以AO=$\frac{5}{4}$AG，再证明△BEF∽△BOA得到$\frac{EF}{OA}$=$\frac{BE}{BO}$=$\frac{2}{5}$，于是得到$\frac{EF}{AG}$=$\frac{1}{2}$，然后证明△PEF∽△PAG，利用相似比可得到$\frac{AP}{PE}$的值．

解答 （1）证明：连接OF，如图1，
∵OA∥EF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵OE=OF，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
在△AOC和△AOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OF}\\{∠1=∠2}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△AOF，
∴∠ACO=∠AFO=90°，
∴OF⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；

（2）解：如图2，在Rt△OFB中，设OE=OF=r，
∵OF²+BF²=OB²，
∴r²+4²=（r+2）²，解得r=3，
∴OB=5，
设AC=AF=t，则AB=4+t，
在Rt△ACB中，t²+8²=（t+4）²，解得t=6，
即AC=6，
∴AO=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵AC²=AO•AG，
∴AG=$\frac{36}{3\sqrt{5}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
∴AO=$\frac{5}{4}$AG，
∵OA∥EF，
∴△BEF∽△BOA，
∴$\frac{EF}{OA}$=$\frac{BE}{BO}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{EF}{\frac{5}{4}AG}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{EF}{AG}$=$\frac{1}{2}$，
∵EF∥GA，
∴△PEF∽△PAG，
∴$\frac{AP}{PE}$=$\frac{AG}{EF}$=2．

点评 本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了相似三角形的判定与性质．