Question

某园艺公司计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测种植花卉的利润y₁（万元）与投入资金x（万元）成正比列关系，如图1所示；种植树木的利润y₂（万元）与投入资金x（万元）成二次函数关系，如图2所示．
（1）分别求出利润y₁（万元）与y₂（万元）关于投入资金x（万元）的函数关系式；
（2）如果该园艺公司以8万元资金投入种植花卉和树木，公司至少能获得多少利润？

Answer 1

分析：（1）可根据图象利用待定系数法求解函数解析式；
（2）根据总利润=树木利润+花卉利润，列出函数关系式，再求函数的最值．

解答：解：（1）由图象知y₁=kx，y₂=ax²，
∵y₁=kx经过（1，2），y₂=ax²经过（2，2）
∴2=1k，解得：k=2，
2=2²a，解得：a=

1

2

即y₁=2x，y2=

1

2

x2；

（2）设公司投入种植花卉资金x万元，则投入种植树木资金（8-x）万元．
∴公司获得总利润为y=

1

2

(8-x)2+2x=

1

2

(x-6)2+14（0≤x≤8），
公司至少能获得14万元利润．

点评：此题主要考查了二次函数的应用，第（1）个问题是已知一次函数和二次函数的图象，求函数的解析式，观察两个函数的图象可知，前者是正比例函数，后者是二次函数，顶点是（0，0），利用待定系数法，先设两个函数的解析式，再将P（1，2），Q（2，2）代入相应的解析式求出参数即可；第（2）个问题是已知自变量的取值范围求二次函数的最值，属于二次函数的条件最值问题．这类试题一般先将函数解析式配方，将函数解析式变成顶点形式，找出顶点坐标和对称轴方程，结合自变量的取值范围，画出函数图象（抛物线的一部分），根据抛物线的对称性、开口方向，确定函数的最大（或最小）值，不宜直接用最值公式，这种解题方法体现了数学中的数形结合的思想，它的优点是直观形象，避免死记公式．