【题目】已知关于x的一元二次方程。
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根,第三边BC的长为5。当△ABC是等腰三角形时,求k的值。
【答案】(1)详见解析
(2)或。
【解析】
(1)先计算出△=1,然后根据判别式的意义即可得到结论;
(2)先利用公式法求出方程的解为x1=k,x2=k+1,然后分类讨论:AB=k,AC=k+1,当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形,然后求出k的值.
解:(1)证明:∵△=(2k+1)2-4(k2+k)=1>0,
∴方程有两个不相等的实数根;
(2)解:一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0的解为x=,即x1=k,x2=k+1,
∵k<k+1,
∴AB≠AC.
当AB=k,AC=k+1,且AB=BC时,△ABC是等腰三角形,则k=5;
当AB=k,AC=k+1,且AC=BC时,△ABC是等腰三角形,则k+1=5,解得k=4,
所以k的值为5或4.
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【题目】如图1,在坐标平面中,A(-6,0)、B(6,0),点 C 在 y 轴正半轴上,且∠ACB=90.
⑴求点 C 的坐标;
⑵如图2,点 P 为线段 BC 上一点,连接 PA,设点 P 的横坐标为 m,△PAC 的面积为 S,用含 m 的代数式来表示 S;
⑶如图3,在⑵的条件下,过点 B 向 PA 引垂线,垂足为 E,延长 BE、AC 相交于点 F,连接PF,若 PF=3,求 m 的值.
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【题目】如图,△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,F为EC的中点,连接AF.写出AF与BD的数量关系和位置关系,并说明理由.
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【题目】如图,灯杆AB与墙MN的距离为18米,小丽在离灯杆(底部)9米的D处测得其影长DE为3m,设小丽身高为1.6m.
(1)求灯杆AB的高度;
(2)小丽再向墙走7米,她的影子能否完全落在地面上?若能,求此时的影长;若不能,求落在墙上的影长.
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【题目】通过对《勾股定理》的学习,我们知道:如果一个三角形中,两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形一定是直角三角形.如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.
(1)根据奇异三角形的定义,请你判断:等边三角形一定是奇异三角形吗?
(填“是”或不是);
(2)若某三角形的三边长分别为1、、2,则该三角形是不是奇异三角形,请做出判断并写出判断依据;
(3)在中,两边长分别为,且且,则这个三角形是不是奇异三角形?请做出判断并写出判断依据;
探究:Rt中,,且b>a,若Rt是奇异三角形,求.
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【题目】在数学活动课上,老师提出这样一个问题:“已知,同学们只用一块三角板可以画出它的角平分线吗?”聪明的小阳经过思考设计了如下方案(如图):
(1)在角的两边OM、ON上分别取OA=OB;
(2)过点A作DA⊥OM于点A,交ON于点D;过点B作EB⊥ON于点B,交OM于点E,AD、BE交于点C;
(3)作射线OC.
小阳接着解释说:“此时,△OAC≌△OBC,所以射线OC为∠MON的平分线。”小阳的方案中,△OAC≌△OBC的依据是( )
A.SASB.ASAC.HLD.AAS
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ACB=30°,AC=10,CD是角平分线.
(1)如图1,若E是AC边上的一个定点,在CD上找一点P,使PA+PE的值最小;
(2)如图2,若E是AC边上的一个动点,在CD上找一点P,使PA+PE的值最小,并直接写出其最小值.
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【题目】如图,在长方形中,=4, =8,点是边上一点,且,点是边上一动点,连接,,则下列结论:① ;②当时,平分 ; ③△周长的最小值为15 ;④当时,平分.其中正确的个数有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
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