Question

17．问题背景  
甲、乙、丙三名同学探索课本上一道题：如图1，E是边长为a的正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形．
任务要求：
（1）请你在图1中画出旋转后的图形
甲、乙、丙三名同学又继续探索：
在正方形ABCD中，∠EAF=45°，点F为BC上一点，点E为DC上一点，∠EAF的两边AE、AF分别与直线BD交于点M、N．连接EF
甲发现：线段BF，EF，DE之间存在着关系式EF=BF+DE；
乙发现：△CEF的周长是一个恒定不变的值；
丙发现：线段BN，MN，DM之间存在着关系式BN²+DM²=MN²
（2）现请你参与三位同学的研究工作中来，你认为三名同学中哪个的发现是正确的，并说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意容易画出图形；
（2）延长CB到K，使BK=DE，连AK，由SAS证明△AKB≌△AED，得出对应角相等∠BAK=∠DAE，证出∠KAF=∠FAE，再证明△AKF≌△AEF，得出KF=EF，得出甲发现正确；
延长CB到K，使BK=DE，连接AK，同①得出△AKB≌△AED，得出∠BAK=∠DAE，证出∠KAF=∠FAE，由SAS证明△AKF≌△AEF，得出KF=EF，得出乙发现正确；
在AK上截取AG=AM，连接BG，GN，由SAS证明△ABG≌△ADM，得出BG=DM，∠ABG=∠ADB=45°，证出∠KAF=∠FAE，由SAS证明△GAN≌△NAM，得出NG=MN，再由勾股定理即可得出丙发现正确．

解答 解：（1）画图如图1所示；
（2）甲、乙、丙三名同学的发现都是正确的；
①甲发现正确；理由如下：
如图2所示，
延长CB到K，使BK=DE，连AK，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABF=∠ABK=∠ADE=90°，
在△AKB和△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠ABK=∠ADE}\\{BK=DE}\end{array}\right.$，
∴△AKB≌△AED（SAS），
∴∠BAK=∠DAE，
∵∠BAF+∠DAE=45°，
∴∠BAF+∠BAK=45°，
即∠KAF=45°，
∴∠KAF=∠FAE，
在△AKF和△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{AK=AE}\\{∠KAF=∠FAE}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AKF≌△AEF（SAS），
∴KF=EF，
又∵BK=DE，
∴EF=BF+DE；
②乙发现正确；理由如下：
延长CB到K，使BK=DE，连接AK，如图2所示：
同①得：△AKB≌△AED，
∴∠BAK=∠DAE，
∵∠BAF+∠DAE=45°，
∴∠BAF+∠BAK=45°，
即∠KAF=45°，
∴∠KAF=∠FAE，
在△AKF和△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{AK=AE}\\{∠KAF=∠FAE}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AKF≌△AEF（SAS），
∴KF=EF，
又∵BK=DE，
∴EF=BF+DE；
△CEF周长=CF+CE+EF
=CF+CE+（BF+DE）
=（CF+BF）+（CE+DE）
=BC+DC=2a（定值）；                        
③丙发现正确；理由如下：
如图3，在AK上截取AG=AM，连接BG，GN，
在△ABG和△ADM中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AM}&{\;}\\{∠KAB=∠EAD}&{\;}\\{AB=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADM（SAS），
∴BG=DM，∠ABG=∠ADB=45°，
又∵∠ABD=45°，
∴∠GBD=90°，
∵∠BAF+∠DAE=45°，
∴∠KAF=45°，
∴∠KAF=∠FAE，
在△GAN和△NAM中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AM}&{\;}\\{∠KAF=∠FAE}&{\;}\\{AN=AN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△GAN≌△NAM（SAS），
∴NG=MN，
∵∠GBD=90°，
∴BG²+BN²=NG²，
∴BN²+DM²=MN²；
综上所述：甲、乙、丙三名同学的发现都是正确的．

点评 本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，需要通过作辅助线多次证明三角形全等才能得出结论．