Question

（2013•沈阳模拟）如图，抛物线y=-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

交x轴于A、B两点，交y轴于C点，顶点为D．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）把△ABC绕AB的中点M旋转180°，得四边形AEBC，求点E的坐标，并判四边形AEBC的形状，并说明理由；
（3）在直线BC上是否存在一点P，使得△PAD周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）分别令x=0以及y=0求出A、B、C三点的坐标．
（2）依题意得出BC∥AE，又已知A、B、C的坐标易求出点E的坐标，又因为四边形AEBC是平行四边形且∠ACB=90°可得四边形AEBC是矩形．
（3）作点A关于BC的对称点A′，连接A′D与直线BC交于点P．则可得点P是使△PAD周长最小的点，然后求出直线A′D，直线BC的函数解析式联立方程求出点P的坐标．

解答：解：（1）y=-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

，
令x=0，得y=

3

，
令y=0，
即-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

=0，
即x²+2x-3=0，
∴x₁=1，x₂=-3
∴A，B，C三点的坐标分别为A（-3，0），B（1，0），C（0，

3

）；

（2）如图1，过点E作EF⊥AB于F，
∵C（0，

3

），
∴EF=

3

，
∵B（1，0），
∴AF=1，
∴OF=OA-AF=3-1=2，
∴E（-2，-

3

），
四边形AEBC是矩形．
理由：四边形AEBC是平行四边形，且∠ACB=90°，

（3）存在．
D（-1，

4 3

3

）
如图2，作出点A关于BC的对称点A′，连接A′D与直线BC交于点P．
则点P是使△PAD周长最小的点．
∵AO=3，
∴FO=3，
CO=

3

，
∴A′F=2

3

，
∴求得A′（3，2

3

）
过A′、D的直线y=

3

6

x+

3 3

2

，
过B、C的直线y=-

3

x+

3

，
将两函数解析式联立得出：

y= 3 6 x+ 3 3 2 y=- 3 x+ 3

，
解得：

x=- 3 7 y= 10 3 7

，
故两直线的交点P（-

3

7

，

10 3

7

）．

点评：本题综合考查了二次函数的有关知识以及利用待定系数法求出函数解析式以及利用轴对称求线段最小值，利用轴对称得出P点位置是解题关键．