Question

【题目】如图，在直角坐标系内，已知A(2，3)，B(4，1)，直线l过P(m，0)，A、B关于l的对称点分别为A’、B’，请利用直尺(无刻度)和圆规按下列要求作图．

（1）当A’与B重合时，请在图1中画出点P位置，并求出m的值；

（2）当A’、B’都落在y轴上时，请在图2中画出直线l，并求出m的值．

Answer 1

【答案】（1）作图见解析；1；（2）作图见解析；

【解析】

（1）当A’与B重合时，A、B关于l的对称，作出AB的垂直平分线l，直线l与x轴的交点即为点P.先求出直线AB的解析式，继而求出其与坐标轴的交点E、D的坐标，继而算出=1,得到，最后依据C的横坐标建立关于m的等式解出；

（2）由A’、B’都落在y轴上，知直线AB与y轴关于直线l对称，l为直线AB与y轴组成角的角平分线，作于G，运用角平分线的性质得到，求出，利用第（1）问得到，据此列出关于m的方程，解出即可.

解：（1）当A’与B重合时，l是AB的垂直平分线，点P位置如图，

设直线AB：，将A(2，3)，B(4，1)代入得：

，解得，

∴AB：，

∴D(5，0)，E(0，5)，

∴=1,

∴,

∴C在PD的中垂线上，即C的横坐标为

又∵C为A(2，3)，B(4，1)的中点，

∴=，

∴m=1；

（2）由A’、B’都落在y轴上，知l为直线AB与y轴组成角的角平分线，作图如下：

由（1）得1,

∴45°,，

作于G，则，，，

∴，

∴m=.