Question

【题目】已知△ABC中，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，点M、N分别在边CA，CB上（不与端点重合），BN＝AM，射线AG∥BC交BM延长线于点D，点E在直线AN上，EA＝ED．

（1）（观察猜想）如图1，点E在射线NA上，当∠ACB＝45°时，①线段BM与AN的数量关系是　 　； ②∠BDE的度数是　 　；

（2）（探究证明）如图2点E在射线AN上，当∠ACB＝30°时，判断并证明线段BM与AN的数量关系，求∠BDE的度数；

（3）（拓展延伸）如图3，点E在直线AN上，当∠ACB＝60°时，AB＝3，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．

Answer 1

【答案】（1）①BM＝AN，②135°；（2）∠BDE＝30°；（3）或4

【解析】

（1）如图1中，延长ED交BC于点F，交AC于点O．想办法证明∠BMC=∠BFE，再利用三角形的外角的性质即可解决问题；

（2）如图2中，设AC交DF于点O．解决问题的方法类似（1）；

（3）分两种情形分别画出图形，利用相似三角形的性质解决问题即可．

（1）如图1中，延长ED交BC于点F，交AC于点O，

∵CB＝CA，

∴∠ABN＝∠BAM，

∵BN＝AM，AB＝BA，

∴△ABN≌△BAM（SAS），

∴BM＝AN，∠ANB＝∠AMB，

∴∠ANC＝∠BMC，

∵EA＝ED，

∴∠EAD＝∠EDA，

∵AG∥BC，

∴∠EAD＝∠ENF，∠EDA＝∠EFN，

∴∠BMC＝∠BFE，

∴∠MOD+∠BDF＝∠C+∠FOC，

∵∠C＝45°，∠FOC＝∠MOD，

∴∠MDO＝45°，

∴∠BDE＝135°，

故答案为BM＝AN，135°．

（2）如图2中，设AC交DF于点O．

∵CB＝CA，

∴∠ABN＝∠BAM，

∵BN＝AM，AB＝BA，

∴△ABN≌△BAM（SAS），

∴BM＝AN，∠ANB＝∠AMB，

∴∠ANC＝∠BMC，

∵EA＝ED，

∴∠EAD＝∠EDA，

∵AG∥BC，

∴∠EAD＝∠ENF，∠EDA＝∠EFN，

∴∠BMC＝∠BFE，

∴∠MOD+∠BDF＝∠C+∠FOC，

∵∠C＝30°，∠FOC＝∠MOD，

∴∠MDO＝30°，

∴∠BDE＝30°．

（3）①如图3﹣1中，

当BN＝BC时，作MH⊥AB于H，

由题意AM＝BN＝1，

在Rt△AHM中，∵∠MAH＝60°．AM＝1，

∴AH＝，BH＝，HM＝，

在Rt△BMH中，BM＝AN＝DF＝，

由（2）可知：∠BDF＝∠ACB＝60°，

∵∠CBM＝∠DBF，

∴△CBM∽△DBF，

∴，

∴，

∴BF＝，

∴CF＝﹣3＝．

②如图3﹣2中，

当CN＝BC时，同法可得CF＝4．

综上所述，满足条件的CF的长为或4．