Question

计算：
（1）(

1

x-y

+

1

x+y

)÷

xy

x2-y2

（2）

4

-(

1

5 +2

)0+(-2)3÷3-1
（3）（

a

a-1

-

2

a2-1

）÷（1-

1

a+1

）
（4）解方程：

x

x-1

=

3

2x-2

-2
（5）先化简，后求值：(1+

1

x

)÷

x2-1

x

，其中x=

2

．
（6）已知：a-

1

a

=3，求a2+

1

a2

的值．
（7）若方程

2

x-2

+

mx

x2-4

=

3

x+2

有增根，求m的值．

Answer 1

分析：（1）先把括号内的两个分式通分，并把除数的分母分解因式，把除法转化为乘法运算，然后约分即可；
（2）根据二次根式的性质，任何非0数的0次幂等于1，有理数的乘方的定义以及有理数的负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数进行计算即可；
（3）先把两个括号内的分式通分并计算，然后把除法运算转化为乘法运算，根据分式的乘法运算约分即可；
（4）方程两边都乘以最简公分母2（x-1），把分式方程化为整式方程并求解，再进行检验；
（5）把括号内的分式通分并计算，把除式的分子分解因式，并把除法转化乘法，然后根据分式的乘法运算计算，最后把x的值代入进行计算即可得解；
（6）把已知条件两个平方，根据完全平方公式展开整理即可得解；
（7）方程两边都乘以最简公分母（x+2）（x-2），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根是使最简公分母等于0的未知数的值求出增根，然后代入计算即可得解．

解答：解：（1）（

1

x-y

+

1

x+y

）÷

xy

x2-y2

=

x+y+x-y

(x-y)(x+y)

÷

xy

(x-y)(x+y)

=

2x

(x-y)(x+y)

×

(x-y)(x+y)

xy

=

2

y

；

（2）

4

-（

1

5 +2

）⁰+（-2）³÷3^-1
=2-1-8÷

1

9

=1-8×9
=1-72
=-71；

（3）（

a

a-1

-

2

a2-1

）÷（1-

1

a+1

）
=

a2+a-2

(a+1)(a-1)

÷

a+1-1

a+1

=

(a-1)(a+2)

(a+1)(a-1)

×

a+1

a

=

a+2

a

；

（4）方程两边都乘以2（x-1）得，
2x=3-4（x-1），
2x=3-4x+4，
6x=7，
x=

7

6

，
检验：当x=

7

6

时，2（x-1）=2（

7

6

-1）=

1

3

≠0，
所以，x=

7

6

是方程的解，
因此，原分式方程的解是x=

7

6

；

（5）（1+

1

x

）÷

x2-1

x

=

x+1

x

×

x

(x+1)(x-1)

=

1

x-1

，
当x=

2

时，原式=

1

x-1

=

1

2 -1

=

2

+1；

（6）∵a-

1

a

=3，
∴（a-

1

a

）²=9，
即a²-2+

1

a2

=9，
整理得，a²+

1

a2

=11；

（7）方程两边都乘以（x+2）（x-2）得，
2（x+2）+mx=3（x-2），
∵分式方程有增根，
∴（x+2）（x-2）=0，
解得x₁=-2，x₂=2，
当x₁=-2时，2（-2+2）-2m=3（-2-2），
解得m=6，
当x₂=2时，2（2+2）+2m=3（2-2），
解得m=-4，
所以m的值为6或-4．

点评：本题考查了分式的运算，分式的化简求值，0指数幂的性质，负整数指数幂的性质，解分式方程，以及分式方程的增根问题，考查的知识点较多，且比较复杂，计算时一定要细心．