Question

（2012•开平区一模）如图，在一个内角为60°的菱形ABCD中，边长为4，将它绕点O顺时针旋转90°后得到菱形A′B′C′D′，则阴影部分的周长为

16（

3

-1）

．

Answer 1

分析：由菱形的性质，可求得OA与OD的长，由旋转的性质，即可求得OA′与OB′的长，又可证得AB′=B′F=FD=A′D，即可求得DF=B′F的长，继而求得答案．

解答：解：设AB与A′B′交于F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AD=A′B′=4，∠DAB=60°，
∴∠DAO=∠B′A′O=30°，
∴OD=OB′=2，AO=A′O=2

3

，
∴AB′=AO-B′O=2

3

-2，
∵∠DAC=30°，∠A′B′C=60°
∴∠DAC=∠AFB′=30°，
∴AB′=B′F=FD=A′D，
∴B′F=FD=2

3

-2，
根据旋转的性质可得阴影部分为各边长相等的八边形，
∴旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长是：16（

3

-1）．
故答案为：16（

3

-1）．

点评：此题考查了菱形的性质、旋转的性质、勾股定理以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．