Question

如图1，圆O₁与圆O₂都经过A、B两点，经过点A的直线CD与圆O₁交于点C，与圆O₂交于点D．经过点B的直线EF与圆O₁交于点E，与圆O₂交于点F．

（1）求证：CE∥DF；
（2）在图1中，若CD和EF可以分别绕点A和点B转动，当点C与点E重合时（如图2），过点E作直线MN∥DF，试判断直线MN与圆O₁的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）只需连接AB，利用“圆的内接四边形的外角等于内对角”证明∠E+∠F=180°，从而证明CE∥DF；
（2）作辅助线：构造直径所对的圆周角是90°．利用平行线的性质求出∠ABE=∠AHE，根据“圆的内接四边形的外角等于内对角”得出∠D=∠ABE，所以得到∠MEA=∠AHE，∠MEA+∠AEH=90°，利用切线的判定定理，可知MN为⊙O₁的切线．
解答：（1）证明：连接AB；
∵四边形ABEC是⊙O₁的内接四边形，
∴∠BAD=∠E．
又∵四边形ADFB是⊙O₂的内接四边形，
∴∠BAD+∠F=180°．
∴∠E+∠F=180°．
∴CE∥DF．

（2）解：MN与⊙O₁相切，
过E作⊙O₁的直径EH，连接AH和AB；
∵MN∥DF，
∴∠MEA=∠D．
又∵∠D=∠ABE，∠ABE=∠AHE，
∴∠MEA=∠AHE．
∵EH为⊙O₁的直径，
∴∠EAH=90°．
∴∠AHE+∠AEH=90°．
∴∠MEA+∠AEH=90°．
又∵EH为⊙O₁的直径，
∴MN为⊙O₁的切线．
点评：本题主要考查了相交两圆的性质和圆内接四边形的有关性质．这些基本性质和辅助线的基本作法要掌握．
“圆的内接四边形的外角等于内对角”、“圆的内接四边形的对角互补”是圆内接四边形中的基本性质．