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如图(1),直线y=kx-k2(k为常数,且k>0)与y轴交于点C,与抛物线y=ax2有唯一公共点B,点B在x轴上的正投影为点E,已知点D(0,4).
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在实数k,使经过D,O,E三点的圆与抛物线的交点恰好为B?若存在,请求出时k的值;若不存在,请说明理由.
(3)如图(2),连接CE,已知点F(0,1),直线FA与CE相交于点M,不论k取何值,在①∠EAM=∠ECA,②∠EAM=∠ACF两个等式中有一个恒成立.请判断哪一个恒成立,并证明这个成立的结论.
分析:(1)由题意得,kx-k2=ax2,即ax2-kx+k2=0有两个相等的实数根,而k>0,根据判别式,解答即可;
(2)由
y=kx-k2
y=
1
4
x2
,得点B的坐标为(2k,k2),连接OB、DE,则OB、DE均为过点D、0、E三点的圆的直径,所以,Rt△ODE≌Rt△EBO(HL),得到BE=DO=4,即可得出k值;
(3)对y=kx-k2,令x=0,y=0,可得出C(0,-k2),A(k,0),又AF=1,则OA2=OF•OC,可得到△AFO∽△CAO,所以∠FAO=∠ACF,而∠FAO=∠EAM,即可解答.
解答:解:(1)∵直线y=kx-k2与抛物线y=ax2有唯一公共点B,
∴kx-k2=ax2,即ax2-kx+k2=0有两个相等的实数根,
∴(-k)2-4ak2=0,而k>0,
∴a=
1
4

∴y=
1
4
x2

(2)存在实数k,使得经过D、O、E三点的圆与抛物线的交点刚好为点B,
y=kx-k2
y=
1
4
x2
的解为
x=2k
y=k2

∴点B的坐标为(2k,k2),
又∵点B在x轴上的正投影为点E,连接BE,
则BE⊥x轴于E,
∴E(2k,0),
∴DE⊥OB,DF=EF=OF,
连接OB、DE,则OB、DE均为过点D、0、E三点的圆的直径,
∴Rt△ODE≌Rt△EBO(HL),
∴BE=DO,
∵D(0,4),
∴k2=4,
∴k=2(k>0);

(3)结论②∠EAM=∠ACF成立,
对y=kx-k2,令y=0,得x=k,
∴A(k,0),
∴OA=k,
令x=0,得y=-k2
∴C(0,-k2),
∴OC=k2
又∵F(0,1),
∴OF=1,
∴OA2=OF•OC,
OA
OF
=
OC
OA

又∵∠FOA=∠AOC=90°,
∴△AFO∽△CAO,
∴∠FAO=∠ACF,而∠FAO=∠EAM,
∴∠EAM=∠ACF.
点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及的知识有利用二次函数的性质求公共点的坐标、相似三角形的判定和圆的性质,注意分析清楚题意,是解答的关键.
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