分析 【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE,则GF=BE+DF,只要再证明△AFG≌△AFE即可.
【类比引申】延长CB至M,使BM=DF,连接AM,证△ADF≌△ABM,证△FAE≌△MAE,即可得出答案;
【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形,则BE=AB=80米.把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG,只要再证明∠BAD=2∠EAF即可得出EF=BE+FD.
解答 【发现证明】证明:如图(1),∵△ADG≌△ABE,
∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,DG=BE,
又∵∠EAF=45°,即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°,
∴∠GAF=∠FAE,
在△GAF和△FAE中,
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠GAF=∠FAE}\\{AF=AF}\end{array}\right.$,
∴△AFG≌△AFE(SAS).
∴GF=EF.
又∵DG=BE,
∴GF=BE+DF,
∴BE+DF=EF.
【类比引申】∠BAD=2∠EAF.
理由如下:如图(2),延长CB至M,使BM=DF,连接AM,
∵∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠ABM=180°,
∴∠D=∠ABM,
在△ABM和△ADF中,
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABM=∠D}\\{BM=DF}\end{array}\right.$,
∴△ABM≌△ADF(SAS),
∴AF=AM,∠DAF=∠BAM,
∵∠BAD=2∠EAF,
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF,
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF,
在△FAE和△MAE中,
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠FAE=∠MAE}\\{AF=AM}\end{array}\right.$,
∴△FAE≌△MAE(SAS),
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF,
即EF=BE+DF.
故答案是:∠BAD=2∠EAF.
【探究应用】如图3,把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG,连接AF,过A作AH⊥GD,垂足为H.
∵∠BAD=150°,∠DAE=90°,
∴∠BAE=60°.
又∵∠B=60°,
∴△ABE是等边三角形,
∴BE=AB=80米.
根据旋转的性质得到:∠ADG=∠B=60°,
又∵∠ADF=120°,
∴∠GDF=180°,即点G在 CD的延长线上.
易得,△ADG≌△ABE,
∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,DG=BE,
又∵AH=80×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=40$\sqrt{3}$,HF=HD+DF=40+40($\sqrt{3}$-1)=40$\sqrt{3}$
故∠HAF=45°,
∴∠DAF=∠HAF-∠HAD=45°-30°=15°
从而∠EAF=∠EAD-∠DAF=90°-15°=75°
又∵∠BAD=150°=2×75°=2∠EAF
∴根据上述推论有:EF=BE+DF=80+40($\sqrt{3}$-1)≈109(米),即这条道路EF的长约为109米.
点评 此题主要考查了四边形综合题,关键是正确画出图形,证明∠BAD=2∠EAF.此题是一道综合题,难度较大,题目所给例题的思路,为解决此题做了较好的铺垫.
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A. | ∠A=∠DFE | B. | BF=CF | C. | DF∥AC | D. | ∠C=∠EDF |
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A. | 8 | B. | 10 | C. | 3π | D. | 5π |
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