Question

【题目】邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；……依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，□ABCD中，若AB＝1，BC＝2，则□ABCD为1阶准菱形．

（1）判断与推理：

①邻边长分别为2和3的平行四边形是 阶准菱形；

②小明为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把□ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE．请证明四边形ABEF是菱形．

（2）操作、探究与计算：

①已知□ABCD是邻边长分别为1，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出□ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；

②已知□ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a＝6b＋r，b＝5r（r＞0），则□ABCD

是 阶准菱形．

Answer 1

【答案】（1）①2；②见解析（2）①见解析；②10．理由：

②因为a＝6b＋r，b＝5r，所以a=6×5r+r=31r，b=5r，如图所示，平行四边形ABCD是10阶准菱形.

【解析】整体分析：

（1）①由“准菱形”的定义回答；②由平行线+角平分线的结构证明△ABE是等腰三角形；（2）①由“准菱形”的定义及菱形的判定画图；②找出a与b的数量关系，画出图形.

解：（1）①2；

②由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AE∥BF，∴∠AEB=∠FBE，

∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，

∴AE=BF，

∴四边形ABFE是平行四边形，

∴四边形ABFE是菱形；

（2）①如图所示：

②因为a＝6b＋r，b＝5r，所以a=6×5r+r=31r，b=5r，如图所示，平行四边形ABCD是10阶准菱形.