Question

【题目】已知在△ABC中，∠BAC=，∠ABC=，∠BCA=，△ABC的三条角平分线AD，BE，CF交于点O，过O向△ABC三边作垂线，垂足分别为P，Q，H，如下图所示。

（1）若=78°，=56°，=46°，求∠EOH的大小；

（2）用，，表示∠EOH的表达式为∠EOH= ；（要求表达式最简）

（3）若≥≥，∠EOH+∠DOP+∠FOQ=，判断△ABC的形状并说明理由。

Answer 1

【答案】（1）16°；（2）∠EOH=+ -90°；（3）△ABC是直角三角形，理由见解析。

【解析】

（1）由角平分线的性质求出∠EBA，再根据三角形内角和定理可知∠BEA，在Rt△OHE中可求得∠EOH的大小；

根据（1）中过程可表示；

由（2）同理可用，，表示∠DOP和∠FOQ，将∠EOH+∠DOP+∠FOQ=中的∠EOH，∠DOP和∠FOQ进行等量代换，可得出，，间的关系，由此可判断△ABC的形状.

解(1)∵BE平分∠ABC(已知) ∠ABC=(已知)

∴∠EBA=∠ABC=(角平分线性质)

∵∠BAC=(已知)

∴∠BEA=180°-∠BAC-∠EBA=180°--(三角形内角和180°)

∵OH⊥AC（已知）

∴∠OHE=90°（垂直的定义）

∴在Rt△OHE中，∠EOH=90°-∠OEH=90-∠BEA=90-(180°--)=16°

(2) 由（1）知 ∠EOH=+ -90°

(3) 由（2）同理得∠DOP=+- 90° ，∠FOQ=+-90°

∠EOH+∠DOP+∠FOQ=+ -90°++- 90°++-90°=

解得α+（β+γ）=270°

∵β+γ=180°-α（三角形内角和180°）

解得α=90°

∴ △ABC是直角三角形