Question

已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．

(1)①折叠后的所在圆的圆心为时，求的长度；

②如图2，当折叠后的经过圆心为O时，求的长度；

③如图3，当弦AB＝2时，求圆心O到弦AB的距离；

(2)在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．

①如图4，当AB∥CD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB．CD的距离之和为d，求d的值；

②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)①折叠后的所在圆与⊙O是等圆，可得A的长度； 　　②如图2，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接OA．OB．AE、BE，可得△OAE、△OBE为等边三角形，从而得到的圆心角，再根据弧长公式计算即可； 　　③如图3，连接A．B，过点作E⊥AB于点E，可得△AB为等边三角形，根据三角函数的知识可求折叠后求所在圆的圆心到弦AB的距离； 　　(2)①如图4，与所在圆外切于点P时，过点O作EF⊥AB交于于点E，交于点F，根据垂径定理及折叠，可求点O到AB．CD的距离之和； 　　②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得证． 　　解答：解：(1)①折叠后的所在圆与⊙O是等圆， 　　∴A＝OA＝2； 　　②当经过圆O时，折叠后的所在圆在⊙O上，如图2所示，连接A．OA．B，OB，O 　　∵△OA△OB为等边三角形， 　　∴∠AB＝∠AO＋∠BO＝60°＋60°＝120° 　　∴＝＝； 　　③如图3所示，连接OA，OB， 　　∵OA＝OB＝AB＝2， 　　∴△AOB为等边三角形，过点O作OE⊥AB于点E， 　　∴OE＝OA·sin60°＝． 　　(2)①如图4，当折叠后的与所在圆外切于点P时， 　　过点O作EF⊥AB交AB于点H、交于点E，交CD于点G、交于点F， 　　即点E、H、P、O、G、F在直径EF上， 　　∵AB∥CD， 　　∴EF垂直平分AB和CD， 　　根据垂径定理及折叠，可知PH＝PE，PG＝PF， 　　又∵EF＝4， 　　∴点O到AB．CD的距离之和d为： 　　d＝PH＋PG＝PE＋PF＝(PE＋PF)＝2， 　　②如图5，当与不平行时， 　　四边形是平行四边形． 　　证明如下： 　　设为和所在圆的圆心， 　　∵点与点O关于AB对称，点于点O关于CD对称， 　　∴点M为的O中点，点N为O的中点 　　∵折叠后的与所在圆外切， 　　∴连心线必过切点P， 　　∵折叠后的与所在圆与⊙O是等圆， 　　∴P＝P＝2，∴PM＝O＝ON，PM＝ON， 　　∴四边形OMPN是平行四边形． 　　点评：综合考查了相切两圆的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，翻折变换(折叠问题)，解直角三角形，综合性较强，难度较大．

提示：

相切两圆的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；垂径定理；弧长的计算；翻折变换(折叠问题)；解直角三角形．