Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，对于两点A，B，给出如下定义：以线段AB为边的正方形称为点A，B的“确定正方形”．如图为点A，B 的“确定正方形”的示意图．

（1）如果点M的坐标为（0，1），点N的坐标为（3，1），那么点M，N的“确定正方形”的面积为___________；

（2）已知点O的坐标为（0，0），点C为直线上一动点，当点O，C的“确定正方形”的面积最小，且最小面积为2时，求b的值．

（3）已知点E在以边长为2的正方形的边上，且该正方形的边与两坐标轴平行，对角线交点为P（m，0），点F在直线上，若要使所有点E，F的“确定正方形”的面积都不小于2，直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）9；（2）OC⊥直线于点C；① ；② ；（3）

【解析】

（1）求出线段MN的长度，根据正方形的面积公式即可求出答案；

（2）根据面积求出，根据面积最小确定OC⊥直线于点C，再分情况分别求出b；

（3）分两种情况：当点E在直线y=-x-2是上方和下方时，分别求出点P的坐标，由此得到答案.

解：（1）∵M(0，1)，N（3,1），

∴MN∥x轴，MN=3,

∴点M，N的“确定正方形”的面积为,

故答案为：9；

（2）∵点O，C的“确定正方形”面积为2，

∴.

∵点O，C的“确定正方形”面积最小，

∴OC⊥直线于点C.

① 当b>0时，如图可知OM=ON，△MON为等腰直角三角形，

可求，

∴

② 当时，同理可求

∴

（3）如图2中，当正方形ABCD在直线y=-x-2的下方时，延长DB交直线y=-x-2于H，

∴BH⊥直线y=-x-2，

当BH=时，点E、F的“确定正方形”的面积的最小值是2，此时P（-6,0）；

如图3中，当正方形ABCD在直线y=-x-2的上方时，延长DB交直线y=-x-2于H，

∴BH⊥直线y=-x-2，

当BH=时，点E、F的“确定正方形”的面积的最小值是2，此时P（2,0），

观察图象可知：当或时，所有点E、F的“确定正方形”的面积都不小于2