Question

【题目】二次函数的图像交y轴于C点，交轴于A，B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程的两个根．

（1）求出点A、点B的坐标及该二次函数表达式．

（2）如图2，连接AC、BC，点Q是线段OB上一个动点（点Q不与点O、B重合），过点Q作QD∥AC交于BC点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．

（3）如图3，线段MN是直线y=x上的动线段（点M在点N左侧），且MN=，若M点的横坐标为n，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q．以点P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出n的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（－2，0），B（6，0），；（2）；（3）n=1±或-1±．

【解析】试题分析：（1）解一元二次方程x2-4x-12=0可求A、B两点坐标；将A、B两点坐标代入二次函数y=ax2+bx+6，可求二次函数解析式；

（2）由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△BDQ的面积，利用三角形面积公式表示△ACQ的面积，根据S△CDQ=S△ABC-S△BDQ-S△ACQ，运用二次函数的性质求面积最大时，m的值；

（3）以点P，M，Q，N为顶点的四边形能为平行四边形，因为M，N的位置不确定，所以要分三种情况讨论，求出满足题意的n值即可．

试题解析：（1）∵一元二次方程x2-4x-12=0的两个根，分别是x=2或6，点A、点B的横坐标是方程的两个根，点A在点B的左侧，

∴A（-2，0）、B（6，0），将A、B两点坐标代入二次函数y=ax2+bx+6，得

，

解得，

故y=-x2+2x+6；

（2）依题意，得AB=8，QB=6-m，AQ=m+2，OC=6，则S△ABC=AB×OC=24，

∵由DQ∥AC，

∴△BDQ∽△BCA，

∴ ，

即S△BDQ=（m-6）2，

又∵S△ACQ=AQ×OC=3m+6，

∴S=S△ABC-S△BDQ-S△ACQ=24-（m-6）2-（3m+6）=-m2+m+=-（m-2）2+6，

∴当m=2时，S最大；

（3）∵MN=，点A，B都在直线y=x上，MN在直线AB上，MN在线段 AB上，M的横坐标为n，纵坐标也为n，

如图3，过点M作x轴的平行线，过点N作y轴的平行线，它们相交于点H．

∴△MHN是等腰直角三角形．

∴MH=NH=1．

∴点N的坐标为（n+1，n+1），

①如图4，当n＞0时，PM=n，

NQ=n+1-[-（n+1）2+2（n+1）+6]，

当四边形PMQN为平行四边形时，PM=NQ．

则n=n+1-[-（n+1）2+2（n+1）+6]，

解得n=-1+或-1；

②如图5，当n＜0时，PM=-m，

NQ=n+1-[-（n+1）2+2（n+1）+6]，

当四边形PMQN为平行四边形时，PM=NQ．

则-n=n+1-[-（n+1）2+2（n+1）+6]，

解得n=1-或n=-1-，

③∵直线AB过O，即直线经过第一、三象限，

∴点M在第3象限点N在第2象限不存在；

综上所述以点P，M，Q，N为顶点的四边形能为平行四边形，n的值是n=1±，或n=-1±．