Question

6．如图，直线y=$\frac{3}{4}$x与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于点A，将直线y=$\frac{3}{4}$x向右平移6个单位后，与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于点B，与x轴交于点C，若A点到x轴的距离是B点到x轴的距离的2倍，那么k的值为（　　）

• A． 7$\sqrt{2}$
• B． 12
• C． 7
• D． 9

Answer 1

分析 作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，先确定直线BC的解析式，然后设A（m，$\frac{3}{4}$m），B（n，$\frac{3}{4}$n-$\frac{9}{2}$），根据若A点到x轴的距离是B点到x轴的距离的2倍，得出m与n的关系，再根据点A和点B在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，列出n的方程，求出n的值即可求出k的值．

解答 解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图，
∵直线y=$\frac{3}{4}$x向右平移6个单位得到直线BC，
∴C（6，0），
设直线BC的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+b，
把C（6，0）代入得$\frac{3}{4}$×6+b=0，解得b=-$\frac{9}{2}$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$，
设A（m，$\frac{3}{4}$m），B（n，$\frac{3}{4}$n-$\frac{9}{2}$），
∵$\frac{3}{4}$m=2×（$\frac{3}{4}$n-$\frac{9}{2}$），
即m=2n-12，
∴A（2n-12，$\frac{3}{2}$n-9）
∵点A（2n-12，$\frac{3}{2}$n-9），点B（n，$\frac{3}{4}$n-$\frac{9}{2}$）在y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=（2n-12）（$\frac{3}{2}$n-9）=n（$\frac{3}{4}$n-$\frac{9}{2}$）解得n₁=6（舍去），n₂=8，
∴k=n（$\frac{3}{4}$n-$\frac{9}{2}$）=8×（6-$\frac{9}{2}$）=12．
故选B．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求你一次函数的解析式，平移的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，求得A、B坐标的关系是解题的关键．