Question

（2011•武汉模拟）如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则，以AC和BC的长为两根的一元二次方程是（　　）

• A．x2-

  5

  x+1=0
• B．x2-2x+

  4

  5

  =0
• C．x2+2x-

  4

  5

  =0
• D．x2+

  5

  x-1=0

Answer 1

分析：连接AD，BD，OD，由AB为直径与四边形DCFE是正方形，即可证得△ACD∽△DCB，则可求得AC•BC=DC²=1，又由勾股定理求得AB的值，即可得AC+BC=AB，根据根与系数的关系即可求得答案．注意此题答案不唯一．

解答：解：连接AD，BD，OD，作OG⊥DE于G．
∴DG=

1

2

DE，∠DGO=90°，．
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵四边形DCFE是正方形，
∴∠CDG=∠DCO=90°，DE=CD=CF，
∴四边形DCOG是矩形，
∴CO=DG，
∴CO=

1

2

DE．
∵四边形DCFE是正方形，
∴DC⊥AB，
∴∠ACD=∠DCB=90°，
∴∠ADC+∠CDB=∠A+∠ADC=90°，
∴∠A=∠CDB，
∴△ACD∽△DCB，
∴AC：DC=DC：BC，
∵正方形CDEF的边长为1，
∴AC•BC=DC²=1，
∵AC+BC=AB，
∵O是圆心，四边形DEFC是正方形，
∴OC=

1

2

CF=

1

2

．
在Rt△OCD中，OC²+CD²=OD²，
∴OD=

5

2

，
∴AC+BC=AB=

5

，
以AC和BC的长为两根的一元二次方程是x²-

5

x+1=0．
故选A．

点评：此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用．