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(2011•武汉模拟)如图,在以AB为直径的半圆中,有一个边长为1的内接正方形CDEF,则,以AC和BC的长为两根的一元二次方程是(  )
分析:连接AD,BD,OD,由AB为直径与四边形DCFE是正方形,即可证得△ACD∽△DCB,则可求得AC•BC=DC2=1,又由勾股定理求得AB的值,即可得AC+BC=AB,根据根与系数的关系即可求得答案.注意此题答案不唯一.
解答:解:连接AD,BD,OD,作OG⊥DE于G.
∴DG=
1
2
DE,∠DGO=90°,.
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
∵四边形DCFE是正方形,
∴∠CDG=∠DCO=90°,DE=CD=CF,
∴四边形DCOG是矩形,
∴CO=DG,
∴CO=
1
2
DE.
∵四边形DCFE是正方形,
∴DC⊥AB,
∴∠ACD=∠DCB=90°,
∴∠ADC+∠CDB=∠A+∠ADC=90°,
∴∠A=∠CDB,
∴△ACD∽△DCB,
∴AC:DC=DC:BC,
∵正方形CDEF的边长为1,
∴AC•BC=DC2=1,
∵AC+BC=AB,
∵O是圆心,四边形DEFC是正方形,
∴OC=
1
2
CF=
1
2

在Rt△OCD中,OC2+CD2=OD2
∴OD=
5
2

∴AC+BC=AB=
5

以AC和BC的长为两根的一元二次方程是x2-
5
x+1=0.
故选A.
点评:此题考查了正方形的性质,相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系.此题属于开放题,注意数形结合与方程思想的应用.
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1
32
+
1
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…,Sn=1+
1
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+
1
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