已知:如图,正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点
(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式;
(2)根据图象回答,在第一象限内,当取何值时,反比例函数的值大于正比例函数的值?
(3)M(m,n)是反比例函数图像上的一动点,其中0<m<3,过M作直线MB‖x轴交y轴于点B。过点A作直线AC∥y轴交于点C,交直线MB于点D,当四边形OADM的面积为6时,请判断线段BM与DM的大小关系,并说明理由;
(4)探索:x轴上是否存在点P,使ΔOAP是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由。
(1),y=x;(2)0<x<3;(3)BM=DM,理由见解析;(4)存在,P(,0)或(-,0)或(6,0)或P(,0).
解析试题分析:(1)将A(3,2)分别代入,y=ax中,得ak的值,进而可得正比例函数和反比例函数的表达式;
(2)观察图象,得在第一象限内,当0<x<3时,反比例函数的图象在正比例函数的上方;故反比例函数的值大于正比例函数的值;
(3)有S△OMB=S△OAC=×|k|=3,可得S矩形OBDC为12;即OC•OB=12;进而可得mn的值,故可得BM与DM的大小;比较可得其大小关系.
(4)存在.由(3)可知D(3,4),根据矩形的性质得A(3,2),分为OA为等腰三角形的腰,OA为等腰三角形的底,分别求P点坐标.
试题解析:(1)将A(3,2)分别代入,y=ax中,得:,3a=2
∴k=6,a=
∴反比例函数的表达式为:,正比例函数的表达式为y=x;
(2)观察图象,得在第一象限内,当0<x<3时,反比例函数的值大于正比例函数的值.
(3)BM=DM.
理由:∵MN∥x轴,AC∥y轴,
∴四边形OCDB是平行四边形,
∵x轴⊥y轴,
∴?OCDB是矩形.
M和A都在双曲线上,
∴BM×OB=6,OC×AC=6,
∴S△OMB=S△OAC=×|k|=3,又S四边形OADM=6,
∴S矩形OBDC=S四边形OADM+S△OMB+S△OAC=3+3+6=12,
即OC•OB=12
∵OC=3
∴OB=4
即n=4
∴
∴,MD=3-=.
∴MB=MD.
(4)存在.
由(2)得A(3,2),OA=
当OA为等腰三角形的腰时,P(,0)或(-,0)或(6,0),
当OA为等腰三角形的底,P(,0).
∴满足条件的P点坐标为P(,0)或(-,0)或(6,0)或P(,0).
考点:反比例函数综合题.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
定义:如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合,那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”.例如:的图象向左平移2个单位,再向下平移1个单位得到的图象,则是y与x的“反比例平移函数”.
(1)若矩形的两边分别是2cm、3cm,当这两边分别增加x(cm)、y(cm)后,得到的新矩形的面积为8cm2,求y与x的函数表达式,并判断这个函数是否为“反比例平移函数”.
(2)如图,在平面直角坐标系中,点O为原点,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(9,0)、(0,3).点D是OA的中点,连接OB、CD交于点E,“反比例平移函数”的图象经过B、E两点.则这个“反比例平移函数”的表达式为 ;这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合,请写出这个反比例函数的表达式.
(3)在(2)的条件下,已知过线段BE中点的一条直线l交这个“反比例平移函数”图象于P、Q两点(P在Q的右侧),若B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16,请求出点P的坐标.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知双曲线经过点M,它关于y轴对称的双曲线为.
(1)求双曲线与的解析式;
(2)若平行于轴的直线交双曲线于点A,交双曲线于点B,在轴上存在点P,使以点A,B,O,P为顶点的四边形是菱形,求点P的坐标.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知矩形OABC中,OA=2,AB=4,双曲线(k>0)与矩形两边AB、BC分别交于E、F.
(1)若E是AB的中点,求F点的坐标;
(2)若将△BEF沿直线EF对折,B点落在x轴上的D点,作EG⊥OC,垂足为G,请证明△EGD∽△DCF,并求出k的值.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,一次函数的图象与反比例函数(x>0)的图象交于点P,PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B,一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、点D,且S△DBP=27,.
(1)求点D的坐标;
(2)求一次函数与反比例函数的表达式;
(3)根据图象写出当x取何值时,一次函数的值小于反比例函数的值?
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
为了预防流感,某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒,已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例,药物燃烧后,y与x成反比例(如图),现测药物8分钟燃毕,此时空气中每立方米含药量为6毫克,请根据题中所提供的信息,回答下列问题
(1)药物燃烧时,y关于x的函数关系式为 ,自变量x的取值范围是 ;药物燃烧完后,y与x的函数关系式为
(2)研究表明,当空气中的每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过几分钟后,学生才能回到教室.
(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时,才能有效地杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
已知反比例函数(k为常数,k≠0)的图象经过点A(2,3).
(1)求这个函数的解析式;
(2)判断点B(-1,6),C(3,2)是否在这个函数的图象上,并说明理由;
(3)当-3<x<-1时,求y的取值范围.
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
(2013年四川泸州4分)如图,点P1(x1,y1),点P2(x2,y2),…,点Pn(xn,yn)在函数(x>0)的图象上,△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,…,△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形,斜边OA1,A1A2,A2A3,…,An﹣1An都在x轴上(n是大于或等于2的正整数),则点P3的坐标是 ;点Pn的坐标是 (用含n的式子表示).
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