Question

已知△ABC各顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（c，0）．
（1）若c=5，求sinA的值；
（2）若∠A是钝角，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由图知，AD=4，BD=3，CD=2，在Rt△ABD中，用勾股定理可求AB=5，同理，可求AC，那么在Rt△ACE中，sinA=

CE

AC

=

4

2 5

=

2 5

5

；
（2）先过A作AC′⊥AB交x轴于C′，设C′的坐标为（c，0），CE⊥AB，AC′⊥AB，那么有∠C′AB=∠ADB=90°，于是Rt△ABD∽Rt△C′BA，利用比例线段可求BC′，BC′=

25

3

，那么c＞

25

3

，∠BAC′为钝角．

解答：解：（1）根据已知作出示意图．
过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥AB于E，则AD=4，BD=3，CD=2，
于是AB=5，AC=

AD2+CD2

=

42+22

=2

5

．
∵S_△AOC=

1

2

AB•CE=

1

2

BC•AD，
∴CE=

BC•AD

AB

=

5×4

5

=4．
因此sinA=

CE

AC

=

4

2 5

=

2 5

5

．

（2）过A作AC′⊥AB交x轴于C′，设C′的坐标为（c，0）．
∵AD⊥BC，AC′⊥AB，
∴∠C′AB=∠ADB=90°．
又∵∠B=∠B，
∴Rt△ABD∽Rt△C′BA．
∴

BC′

AB

=

AB

BD

，
∴BC′=

AB2

BD

=

5×5

3

=

25

3

．
故当∠A是钝角时，c的取值范围是c＞

25

3

．

点评：本题利用了勾股定理、三角形面积公式，相似三角形的判定和性质．