Question

已知：二次函数y=ax²-4ax+b图象，开口向上，且b＜0，与x轴的两个交点分别为A、B，且满足

|OA|

|OB|

=5，（O为坐标原点），与y轴的交点为C（0，t），顶点的纵坐标为k，且满足|k-

9

5

3

|≤

24

5

3

．
（1）求A、B两点的坐标．
（2）求t的取值范围．
（3）当t取最小值时，求出这个二次函数式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数综合题

分析：（1）先求出抛物线的对称轴为x=2，根据抛物线的对称性可得|OA|-2=|OB|+2，计算求出|OA|、|OB|的长度，即可得到点A、B的坐标；
（2）解不等式得到k的取值范围，再根据点A的坐标得到a、t的关系式，然后代入顶点纵坐标消掉字母a得到关于t的不等式，求解即可得到t的取值范围；
（3）根据t的取值范围得到t的最小值，再代入a、t的关系式求出a的值，代入二次函数表达式即可得解．

解答：解：（1）二次函数y=ax²-4ax+b的对称轴为x=-

-4a

2a

=2，
∵

|OA|

|OB|

=5①，
∴点A在对称轴右边，点B在对称轴左边，
∴|OA|-2=|OB|+2②，
联立①②解得，|OA|=5，|OB|=1，
又∵5-2=3，
∴点A、B到对称轴x=2的距离为3，
所以，A、B两点的坐标分别为A（5，0），B（-1，0）；

（2）由|k-

9

5

3

|≤

24

5

3

得，k-

9

5

3

≤

24

5

3

或k-

9

5

3

≥-

24

5

3

，
解得k≤

33

5

3

或k≥-3

3

，
所以，k的范围为-3

3

≤k≤

33

5

3

，
∵抛物线与y轴的交点为C（0，t），点A（-1，0）在抛物线上，
∴b=t，a+4a+b=0，
∴5a+t=0，
抛物线顶点纵坐标k=

4ab-(-4a)2

4a

=b-4a=t-4×（-

1

5

t）=

9

5

t，
∴-3

3

≤

9

5

t≤

33

5

3

，
解得-

5

3

3

≤t≤

11

3

3

，
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴t=-5a＜0，
∴t的取值范围是-

5

3

3

≤t＜0；

（3）t取最小值时，t=-

5

3

3

，
此时，b=t=-

5

3

3

，
∵5a+t=0，
∴a=

3

3

，
∴这个二次函数式为y=

3

3

x²-

4 3

3

x-

5 3

3

．

点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数的对称轴解析式的求解，函数的对称性，顶点坐标的求解，以及解绝对值不等式，（2）题需要注意t二次函数与y轴的交点在y轴的负半轴，t与b的值相等，都是负数．