证明:如图,连接AC,AD,BC,BD,并且分别过点C,D作CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E,F
∴CE∥DF,∠AEC=90°,∠BFD=90°.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°.
又∵∠CAB是△ACB和△AEC的公共角,
∴△ACB∽△AEC,
∴AC:AB=AE:AC
即PA
2=AC
2=AE•AB,
同理PB
2=BD
2=BF•AB.
两式相减可得PA
2-PB
2=AB(AE-BF),
∴PA
2-PB
2=(PA+PB)(PA-PB)=AB(PA-PB),
∴AE-BF=PA-PB,即PA-AE=PB-BF,
∴PE=PF,
∴点P是线段EF的中点.
∵M是CD的中点,
∴MP是直角梯形CDEF的中位线,
∴MP⊥AB,
∴MP分别与⊙A和⊙B相切.
分析:要证MP分别与⊙A和⊙B相切,如图示,连接AC,AD,BC,BD,并且分别过点C,D作CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E,F则CE∥DF.因为AB是⊙O的直径,所以∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ABC和Rt△ABD中,由射影定理得PA
2=AC
2=AE•AB,PB
2=BD
2=BF•AB.两式相减可得PA
2-PB
2=AB(AE-BF),又PA
2-PB
2=(PA+PB)(PA-PB)=AB(PA-PB),于是有AE-BF=PA-PB,即PA-AE=PB-BF,所以PE=PF,也就是说,点P是线段EF的中点.因此,MP是直角梯形CDEF的中位线,于是得MP⊥AB,进而可得MP分别与⊙A和⊙B相切.
点评:这道题考查了相切两圆的性质和射影定理的应用,以及中位线的知识,同学们应熟练掌握.