Question

如图，Rt△ABC中∠C=90°、∠A=30°，在AC边上取点O画圆使⊙O经过A、B两点，
（1）求证：以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切．
（2）下列结论正确的序号是

①③④

．（少选酌情给分，多选、错均不给分）
①AO=2CO；
②AO=BC；
③延长BC交⊙O与D，则A、B、D是⊙O的三等分点．
④图中阴影面积为：(

1

3

π+

3

8

)•OA2．

Answer 1

分析：（1）证明O在∠ABC的角平分线上，所以点O到直线AB的距离等于OC的长，即d=r，即可证明以OC为半径的圆与AB相切；
（2）连接OB，可得∠ABO=30°，则∠OBC=30°，根据直角三角形的性质得OC=

1

2

OB=

1

2

OA，再根据三角函数cos∠OBC=

BC

OB

，则BC=

3

2

OB，因为点O在∠ABC的角平分线上，所以点O到直线AB的距离等于OC的长，根据垂径定理得直线AC是弦BD的垂直平分线，则点A、B、D将⊙O的三等分

解答：（1）证明：连接OB，
∴OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠OBC=30°，
∴∠ABO=∠OBC=30°，
∴点O在∠ABC的角平分线上，
∴点O到直线AB的距离等于OC的长，
即以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切；

（2）解：连接OB，∴OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠OBC=30°，
∴OC=

1

2

OB=

1

2

OA，
即OA=2OC，
故①正确；
∵cos∠OBC=

BC

OB

，
∴BC=

3

2

OB，
即BC=

3

2

OA，
故②错误；
延长BC交⊙O于D，
∵AC⊥BD，
∴AD=AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴

AD

=

AB

=

BD

，
∴点A、B、D将⊙O的三等分．
故③正确；
连接OD，则阴影部分的面积=直角三角形ODC的面积+扇形AOD的面积=(

1

3

π+

3

8

)•OA2，
故④正确；
故答案为①③④．

点评：本题考查了直角三角形的性质、勾股定理和垂径定理，是基础知识要熟练掌握．