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15.已知正方形ABCD的边长为4,一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转,角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F,连接EF.
(1)AC=4$\sqrt{2}$;
(2)如图,当∠EAF被对角线AC平分时,∠FAC=22.5°°,∠AEC=22.5°°;
(3)如图,当∠EAF绕点A旋转的过程中,设CE=x,CF=y,求x与y的关系式.

分析 (1)由正方形的性质得出AD=DC=4且∠ADC=90°,再根据勾股定理得出AC的长;
(2)由∠FAE=45°且AC平分∠EAF可得∠FAC=∠EAC=$\frac{1}{2}$∠EAF=22.5°,再利用∠AEC=∠ACB-∠EAC可得答案;
(3)先证∠CAF=∠AEC,结合∠ACF=∠ACE=135°可证△ACF∽△ECA,得$\frac{AC}{EC}$=$\frac{CF}{AC}$,即EC×CF=AC2=2AB2=32,从而得出答案.

解答 解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC=4,且∠ADC=90°,
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$,
故答案为:4$\sqrt{2}$;

(2)∵∠FAE=45°,且AC平分∠EAF,
∴∠FAC=∠EAC=$\frac{1}{2}$∠EAF=22.5°,
又∵∠ACB=45°,
∴∠AEC=∠ACB-∠EAC=22.5°,
故答案为:22.5°,22.5°;

(3)如图,

∵AB∥CD
∴∠BAG=∠AFC,
∵∠BAC=45°,
∴∠BAG+∠CAF=45°,
∴∠AFC+∠CAF=45°,
∵∠AFC+∠AEC=180°-(∠CFE+∠CEF)-∠EAF=180°-90°-45°=45°,
∴∠CAF=∠AEC,
∵∠ACF=∠ACE=135°,
∴△ACF∽△ECA,
∴$\frac{AC}{EC}$=$\frac{CF}{AC}$,
∴EC×CF=AC2=2AB2=32
∴xy=32.

点评 此题主要考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理、角平分线的定义,解本题的关键是判断△ACF∽△ECA,也是本题的难点.

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