Question

（1）已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条真线上，线段AD与BE交于点F，AD交CE于点N，BE交AC于M．求证：①AD=BE；②CM=CN．
（2）若点B、C、D不在同一条真线上，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请真接给出答案，不必证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）①根据∠ACB=∠DCE=60°求出∠BCE=∠ACD，根据SAS推出△BCE≌△ACD，根据全等三角形的性质得出BE=AD，②根据ASA推出△BCM≌△ACN，即可推出CM=CN
（2）根据∠ACB=∠DCE=60°求出∠BCE=∠ACD，根据SAS推出△BCE≌△ACD，根据全等三角形的性质得出BE=AD，根据已知不能推出△BCM≌△ACN．

解答：证明：（1）①如图1，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，

BC=AC ∠BCE=∠ACD CE=CD

∴△BCE≌△ACD，
∴AD=BE，∠CAD=∠DBE，
②∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACN=60°=∠BCA，
在△BCM和△ACN中

∠CBM=∠CAN BC=AC ∠BCM=∠ACN

∴△BCM≌△ACN，
∴CM=CN；

（2）①成立，
理由是：如图2，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，

BC=AC ∠BCE=∠ACD CE=CD

∴△BCE≌△ACD，
∴AD=BE，∠CAD=∠DBE，
②不成立，
理由是：根据已知不能推出∠ACB=∠ACN，即不能推出△BCM≌△ACN，
所以CM=CN不成立．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质的应用，解此题的关键是推出△BCE≌△ACD，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．