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精英家教网已知,如图,四边形ABCD是矩形,AB=1,AD=2,M是CD边上一点(不与C、D重合),以BM为直径画半圆交AD于E、F,连接BE,ME.
(1)求证:AE=DF;
(2)求证:△AEB∽△DME;
(3)设AE=x,四边形ABMD的面积为y,求y关于x的函数关系式和自变量的取值范围.
分析:(1)设BM的中点为O,过O作OH⊥EF,垂足为H.利用平行线的性质和垂径定理可求出;
(2)要求证△AEB∽△DME,就要利用三角形相似的判定证明,从题中互余的关系可知三角相等,利用AAA定理可证明;
(3)要求四边形ABMD的面积为y与边的关系,就要利用面积公式列出式子,再分析看成变量x的最值范围.
解答:精英家教网(1)证明:设BM的中点为O,过O作OH⊥EF,垂足为H,
∵OB=OM,∴AH=DH.根据垂径定理可知EH=FH,∴AE=DF;

(2)证明:∵BM是圆O的直径,
∴∠BEM=90°,
∴∠AEB+∠DEM=90°,
∴∠AEB=∠DME,
∴△AEB∽△DME;

(3)解:∵△AEB∽△DME,∴
AB
DE
=
AE
DM

∵AB=1,AE=x,∴DE=2-x,
∴DM=x(2-x),y=
1
2
(AB+DM)•AD=-x2+2x+1.
自变量的取值范围是0<x<1.
点评:本题综合考查了平行线,垂径定理和相似三角形的判定及矩形的面积公式等计算能力.
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