Question

已知，如图，四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，M是CD边上一点（不与C、D重合），以BM为直径画半圆交AD于E、F，连接BE，ME．
（1）求证：AE=DF；
（2）求证：△AEB∽△DME；
（3）设AE=x，四边形ABMD的面积为y，求y关于x的函数关系式和自变量的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设BM的中点为O，过O作OH⊥EF，垂足为H．利用平行线的性质和垂径定理可求出；
（2）要求证△AEB∽△DME，就要利用三角形相似的判定证明，从题中互余的关系可知三角相等，利用AAA定理可证明；
（3）要求四边形ABMD的面积为y与边的关系，就要利用面积公式列出式子，再分析看成变量x的最值范围．

解答：（1）证明：设BM的中点为O，过O作OH⊥EF，垂足为H，
∵OB=OM，∴AH=DH．根据垂径定理可知EH=FH，∴AE=DF；

（2）证明：∵BM是圆O的直径，
∴∠BEM=90°，
∴∠AEB+∠DEM=90°，
∴∠AEB=∠DME，
∴△AEB∽△DME；

（3）解：∵△AEB∽△DME，∴

AB

DE

=

AE

DM

，
∵AB=1，AE=x，∴DE=2-x，
∴DM=x（2-x），y=

1

2

（AB+DM）•AD=-x²+2x+1．
自变量的取值范围是0＜x＜1．

点评：本题综合考查了平行线，垂径定理和相似三角形的判定及矩形的面积公式等计算能力．