Question

15．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，P是AB上的一动点，PE⊥AC于E，沿PE将∠A折叠，点A的对应点为D，若△BPD是直角三角形，则PA=2或4．

Answer 1

分析 分为点D在AC 上和点D在AC的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△PBD为有一个角为30°的直角三角形，最后依据AP+PB=6列方程求解即可．

解答 解：∵∠A=30°，∠C=90°，BC=3，
∴AB=6．
如图1所示：

由翻折的性质可知：AP=PD，
∴∠A=∠PDA=30°．
∴∠BPD=60°．
∵∠PDB=90°，
∴PD=$\frac{1}{2}$PB，
∴AP+2AP=6，解得AP=2．
如图2所示：

由翻折的性质可知：AP=PD，
∴∠A=∠PDA=30°．
∴∠BPD=60°．
∵∠PBD=90°，
∴PB=$\frac{1}{2}$PD，
∴AP+$\frac{1}{2}$AP=6，解得AP=4．
综上所述，AP的长为2或4．
故答案为：2或4

点评 本题主要考查的是翻折变换、含30°直角三角形的性质，证得△BPD为一个含30°的直角三角形是解题的关键．